Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 44.37 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^{2} \) на заданном промежутке:
а) \([-2; 0{,}5]\);
б) \([-1{,}5; 0]\);
в) \([-2{,}5; 1{,}5]\);
г) \([-3; 2{,}3]\).
Краткое решение
Общий принцип:График функции \( y = x^{2} \) — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке \( x = 0 \). Наименьшее значение на отрезке, включающем \( 0 \), равно \( 0 \). Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка, поскольку функция убывает до нуля и возрастает после.
а) \([-2; 0{,}5]\)
\[
y_{\text{наим}} = 0^{2} = 0
\]
\[
y_{\text{наиб}} = \max( (-2)^{2}, (0{,}5)^{2} ) = \max( 4, 0{,}25 ) = 4
\]
б) \([-1{,}5; 0]\)
\[
y_{\text{наим}} = 0^{2} = 0
\]
\[
y_{\text{наиб}} = \max( (-1{,}5)^{2}, 0^{2} ) = \max( 2{,}25, 0 ) = 2{,}25
\]
в) \([-2{,}5; 1{,}5]\)
\[
y_{\text{наим}} = 0^{2} = 0
\]
\[
y_{\text{наиб}} = \max( (-2{,}5)^{2}, (1{,}5)^{2} ) = \max( 6{,}25, 2{,}25 ) = 6{,}25
\]
г) \([-3; 2{,}3]\)
\[
y_{\text{наим}} = 0^{2} = 0
\]
\[
y_{\text{наиб}} = \max( (-3)^{2}, (2{,}3)^{2} ) = \max( 9, 5{,}29 ) = 9
\]
Функция и её свойства:
Функция \( y = x^{2} \) является квадратичной. Её график — парабола с вершиной в точке \( (0, 0) \). Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \). Следовательно, в точке \( x = 0 \) она достигает своего абсолютного минимума \( y = 0 \). Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на заданном отрезке необходимо учитывать положение отрезка относительно вершины.
Алгоритм решения:
1. Наименьшее значение: Если заданный отрезок \( [a; b] \) содержит точку \( x = 0 \) (т.е. \( a \le 0 \le b \)), то наименьшее значение равно \( f(0) = 0 \).
2Наибольшее значение: Наибольшее значение на отрезке будет в том из его концов, который находится дальше от нуля, так как функция симметрично возрастает по мере удаления от нуля. Поэтому достаточно вычислить значения функции на концах отрезка \( f(a) = a^{2} \) и \( f(b) = b^{2} \) и выбрать большее из них.
а) Промежуток \([-2; 0{,}5]\)
Проверяем положение отрезка: \( a = -2 \), \( b = 0{,}5 \). Условие \( a \le 0 \le b \) выполняется, так как \( -2 \le 0 \le 0{,}5 \).
Находим наименьшее значение:
Так как ноль входит в отрезок, минимум в вершине.
\[
y_{\text{наим}} = f(0) = 0^{2}
\]
\[
y_{\text{наим}} = 0
\]
Находим наибольшее значение:
Вычисляем значения на концах отрезка.
\[
f(a) = f(-2) = (-2)^{2}
\]
\[
f(-2) = 4
\]
\[
f(b) = f(0{,}5) = (0{,}5)^{2}
\]
\[
f(0{,}5) = 0{,}25
\]
Сравниваем полученные значения. \( 4 > 0{,}25 \).
\[
y_{\text{наиб}} = \max(4; 0{,}25) = 4
\]
Ответ для пункта а): Наибольшее значение \( 4 \), наименьшее значение \( 0 \).
б) Промежуток \([-1{,}5; 0]\)
Проверяем положение отрезка: \( a = -1{,}5 \), \( b = 0 \). Условие \( a \le 0 \le b \) выполняется, так как \( -1{,}5 \le 0 \le 0 \).
Находим наименьшее значение:
Так как ноль входит в отрезок, минимум в вершине.
\[
y_{\text{наим}} = f(0) = 0^{2}
\]
\[
y_{\text{наим}} = 0
\]
Находим наибольшее значение:
Вычисляем значения на концах отрезка.
\[
f(a) = f(-1{,}5) = (-1{,}5)^{2}
\]
\[
f(-1{,}5) = 2{,}25
\]
\[
f(b) = f(0) = 0^{2}
\]
\[
f(0) = 0
\]
Сравниваем полученные значения. \( 2{,}25 > 0 \).
\[
y_{\text{наиб}} = \max(2{,}25; 0) = 2{,}25
\]
Ответ для пункта б): Наибольшее значение \( 2{,}25 \), наименьшее значение \( 0 \).
в) Промежуток \([-2{,}5; 1{,}5]\)
Проверяем положение отрезка: \( a = -2{,}5 \), \( b = 1{,}5 \). Условие \( a \le 0 \le b \) выполняется, так как \( -2{,}5 \le 0 \le 1{,}5 \).
Находим наименьшее значение:
Так как ноль входит в отрезок, минимум в вершине.
\[
y_{\text{наим}} = f(0) = 0^{2}
\]
\[
y_{\text{наим}} = 0
\]
Находим наибольшее значение:
Вычисляем значения на концах отрезка.
\[
f(a) = f(-2{,}5) = (-2{,}5)^{2}
\]
\[
f(-2{,}5) = 6{,}25
\]
\[
f(b) = f(1{,}5) = (1{,}5)^{2}
\]
\[
f(1{,}5) = 2{,}25
\]
Сравниваем полученные значения. \( 6{,}25 > 2{,}25 \).
\[
y_{\text{наиб}} = \max(6{,}25; 2{,}25) = 6{,}25
\]
Ответ для пункта в): Наибольшее значение \( 6{,}25 \), наименьшее значение \( 0 \).
г) Промежуток \([-3; 2{,}3]\)
Проверяем положение отрезка:\( a = -3 \), \( b = 2{,}3 \). Условие \( a \le 0 \le b \) выполняется, так как \( -3 \le 0 \le 2{,}3 \).
Находим наименьшее значение:
Так как ноль входит в отрезок, минимум в вершине.
\[
y_{\text{наим}} = f(0) = 0^{2}
\]
\[
y_{\text{наим}} = 0
\]
Находим наибольшее значение:
Вычисляем значения на концах отрезка.
\[
f(a) = f(-3) = (-3)^{2}
\]
\[
f(-3) = 9
\]
\[
f(b) = f(2{,}3) = (2{,}3)^{2}
\]
\[
f(2{,}3) = 5{,}29
\]
Сравниваем полученные значения. \( 9 > 5{,}29 \).
\[
y_{\text{наиб}} = \max(9; 5{,}29) = 9
\]
Ответ для пункта г): Наибольшее значение \( 9 \), наименьшее значение \( 0 \).
Итоговые ответы
а) Наибольшее: \( 4 \), Наименьшее: \( 0 \).
б) Наибольшее: \( 2{,}25 \), Наименьшее: \( 0 \).
в) Наибольшее: \( 6{,}25 \), Наименьшее: \( 0 \).
г) Наибольшее: \( 9 \), Наименьшее: \( 0 \).
