ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 44.47 Мордкович — Подробные Ответы

Пусть \(A\) — наибольшее значение функции \(y = x^2\) на полуинтервале \([-3; 2)\), а \(B\) — наименьшее значение функции \(y = 3x\) на луче \([-1; +\infty)\). что больше: \(A\) или \(B\)?

подробный ответ:

рассмотрим сначала функцию \(y = x^2\) на полуинтервале \([-3; 2)\).
этот промежуток включает левый конец \(x = -3\) и не включает правый конец \(x = 2\).
функция \(y = x^2\) убывает при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\), достигая минимума в нуле.

значения на концах:
— при \(x = -3\): \(y = (-3)^2 = 9\);
— при \(x \to 2^{-}\): \(y \to 4\), но точка \(x = 2\) не входит, поэтому значение 4 не достигается, но близко к нему.

наибольшее значение достигается в \(x = -3\), так как \(|-3| > |x|\) для всех остальных \(x \in [-3; 2)\).
следовательно:
\[
A = 9
\]

теперь рассмотрим функцию \(y = 3x\) на луче \([-1; +\infty)\).
это линейная возрастающая функция (коэффициент \(3 > 0\)).
наименьшее значение достигается при наименьшем \(x\), то есть при \(x = -1\):
\[
B = 3 \cdot (-1) = -3
\]

сравниваем:
\[
A = 9, \quad B = -3 \Rightarrow A > B
\]

—

итоговые ответы:
\(A = 9\), \(B = -3\), следовательно, \(A > B\).

y = x², [-3; 2), Aнаиб = 9.
y = 3x, [-1; +∞), Bнаим = -3.
A > B.

Дано:

1. Функция \( y = x^2 \) на промежутке \( [-3; 2) \). Обозначим её наибольшее значение как \( A_{\text{наиб}} \).

2. Функция \( y = 3x \) на промежутке \( [-1; +\infty) \). Обозначим её наименьшее значение как \( B_{\text{наим}} \).

3. Утверждение: \( A > B \).

Требуется проверить корректность утверждения, определив точные значения \( A_{\text{наиб}} \) и \( B_{\text{наим}} \).

Часть a) Нахождение \( A_{\text{наиб}} \) для \( y = x^2 \) на \( [-3; 2) \)

Функция \( y = x^2 \) — непрерывная и дифференцируемая на всём \( \mathbb{R} \), включая заданный промежуток.

\[
y = x^2
\]

Найдём критические точки внутри интервала, приравнивая производную к нулю:

\[
y’ = 2x
\]

\[
2x = 0
\]

\[
x = 0
\]

Точка \( x = 0 \) принадлежит промежутку \( [-3; 2) \), поэтому она учитывается.

Теперь вычислим значения функции в:

— левой границе: \( x = -3 \)
— критической точке: \( x = 0 \)
— правой границе: \( x \to 2^- \) (так как 2 не входит в промежуток)

\[
y(-3) = (-3)^2 = 9
\]

\[
y(0) = 0^2 = 0
\]

\[
\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4
\]

Сравниваем полученные значения: \( 9,\ 0,\ 4 \).

Наибольшее из них — \( 9 \).

\[
A_{\text{наиб}} = 9
\]

Часть b) Нахождение \( B_{\text{наим}} \) для \( y = 3x \) на \( [-1; +\infty) \)

Функция \( y = 3x \) — линейная, строго возрастающая, так как коэффициент при \( x \) положителен (\( 3 > 0 \)).

\[
y = 3x
\]

На промежутке \( [-1; +\infty) \) минимальное значение достигается в левой границе, так как функция возрастает.

\[
y(-1) = 3 \cdot (-1) = -3
\]

При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \), значит, других минимумов нет.

\[
B_{\text{наим}} = -3
\]

Часть c) Сравнение \( A \) и \( B \)

Подставляем найденные значения:

\[
A = 9,\quad B = -3
\]

Сравниваем:

\[
9 > -3
\]

Следовательно, утверждение \( A > B \) — верно.

Ответ:

\[
A_{\text{наиб}} = 9,\quad B_{\text{наим}} = -3,\quad A > B \text{ — верно}.
\]