ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 45.10 Мордкович — Подробные Ответы

а) х² + х + 2 = 0; б) х² — х + 4 = 0; в) х² — x + 6 = 0; г) х² + х + 8 = 0.

а)
\( x^2 + x + 2 = 0 \)
\( a = 1, b = 1, c = 2 \)
\( D = b^2 — 4ac \)
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 \)
\( D = 1 — 8 \)
\( D = -7 \)
\( D < 0 \), следовательно, нет действительных корней.

Ответ: нет решений

б)
\( x^2 — x + 4 = 0 \)
\( a = 1, b = -1, c = 4 \)
\( D = b^2 — 4ac \)
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 \)
\( D = 1 — 16 \)
\( D = -15 \)
\( D < 0 \), следовательно, нет действительных корней.

Ответ: нет решений

в)
\( x^2 — x + 6 = 0 \)
\( a = 1, b = -1, c = 6 \)
\( D = b^2 — 4ac \)
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 \)
\( D = 1 — 24 \)
\( D = -23 \)
\( D < 0 \), следовательно, нет действительных корней.

Ответ: нет решений

г)
\( x^2 + x + 8 = 0 \)
\( a = 1, b = 1, c = 8 \)
\( D = b^2 — 4ac \)
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 \)
\( D = 1 — 32 \)
\( D = -31 \)
\( D < 0 \), следовательно, нет действительных корней.

Ответ: нет решений

а) \(x^2 + x + 2 = 0\)

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида:
\[
ax^2 + bx + c = 0,
\]

где коэффициенты равны:
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\).

Для определения количества и наличия действительных корней вычислим дискриминантпо формуле:
\[
D = b^2 — 4ac.
\]

Подставим значения коэффициентов:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7.
\]

Поскольку \(D = -7 < 0\), это означает, что уравнение не имеет действительных корней. В области вещественных чисел решений нет, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определён.

Геометрически это означает, что парабола \(y = x^2 + x + 2\) не пересекает ось абсцисс — она целиком расположена выше неё, так как ветви направлены вверх (\(a = 1 > 0\)) и её вершина находится выше оси \(x\).

Ответ: нет решений.

б) \(x^2 — x + 4 = 0\)

Запишем коэффициенты:
\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 4\).

Вычислим дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 — 16 = -15.
\]

Так как \(D = -15 < 0\), уравнение **не имеет действительных корней**.

С алгебраической точки зрения, выражение под корнем в формуле корней квадратного уравнения отрицательно, поэтому корни будут комплексными числами, но в рамках школьной программы, где рассматриваются только действительные числа, таких решений нет.

График функции \(y = x^2 — x + 4\) — парабола, ветви которой направлены вверх, и её минимальное значение (в вершине) положительно, поэтому она не пересекает ось \(x\).

Ответ: нет решений.

в) \(x^2 — x + 6 = 0\)

Определим коэффициенты:
\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 6\).

Найдём дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 — 24 = -23.
\]

Поскольку \(D = -23 < 0\), уравнение **не имеет действительных корней**.

Это можно также понять, оценив выражение \(x^2 — x + 6\). Выделим полный квадрат:
\[
x^2 — x + 6 = \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{23}{4}.
\]
Минимальное значение этого выражения равно \(\frac{23}{4} > 0\), значит, оно никогда не обращается в ноль при любых действительных \(x\).

Ответ: нет решений.

г) \(x^2 + x + 8 = 0\)

Коэффициенты:
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 8\).

Вычислим дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 — 32 = -31.
\]

Так как \(D = -31 < 0\), уравнение **не имеет действительных корней**.

Аналогично предыдущим случаям, график функции \(y = x^2 + x + 8\) — парабола, ветви которой направлены вверх, и её вершина лежит выше оси \(x\). Следовательно, уравнение не имеет точек пересечения с осью абсцисс.

Можно также выделить полный квадрат:
\[
x^2 + x + 8 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{31}{4} > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}.
\]

Поэтому уравнение не может иметь решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.