ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 45.14 Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) \(\frac{2x^4}{x^3} = -x^2;\)

б) \(\frac{x^2 — 4}{x — 2} = x^2;\)

в) \(x^2 = \frac{3x^8}{x^7};\)

г) \(\frac{x^2 — 4}{x + 2} = -x^2.\)

а) \(\frac{2x^4}{x^3} = -x^2\)

\(y = \frac{2x^4}{x^3} = 2x,\quad x \ne 0,\quad y = -x^2\)

Ответ: \(x = -2\).

б) \(\frac{x^2 — 4}{x — 2} = x^2\)

\(y = \frac{x^2 — 4}{x — 2} = \frac{(x — 2)(x + 2)}{x — 2} = x + 2,\quad x \ne 2,\quad y = x^2\)

Ответ: \(x = -1\).

в) \(x^2 = \frac{3x^8}{x^7}\)

\(y = x^2,\quad y = \frac{3x^8}{x^7} = 3x,\quad x \ne 0\)

Ответ: \(x = 3\).

г) \(\frac{x^2 — 4}{x + 2} = -x^2\)

\(y = \frac{x^2 — 4}{x + 2} = \frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} = x — 2,\quad x \ne -2,\quad y = -x^2\)

Ответ: \(x = 1\).

а) \(\frac{2x^4}{x^3} = -x^2\)

Сначала упростим левую часть. При \(x \ne 0\) можно сократить степени:
\[
\frac{2x^4}{x^3} = 2x^{4-3} = 2x.
\]

Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
2x = -x^2.
\]

Перенесём все члены в одну сторону:
\[
x^2 + 2x = 0.
\]

Вынесем общий множитель:
\[
x(x + 2) = 0.
\]

Получаем два возможных решения: \(x = 0\) и \(x = -2\).
Однако изначально в знаменателе стояло \(x^3\), поэтому \(x = 0\) не входит в область определения (деление на ноль недопустимо). Остаётся только:
\[
x = -2.
\]

Проверка:
— Левая часть: \(\frac{2(-2)^4}{(-2)^3} = \frac{2 \cdot 16}{-8} = \frac{32}{-8} = -4\),
— Правая часть: \(-(-2)^2 = -4\).

Равенство выполняется.

Графически: функция \(y = 2x\) (прямая) и \(y = -x^2\) (парабола, ветви вниз) пересекаются в точке \((-2; -4)\). Точка \(x = 0\) исключена из рассмотрения.

Ответ: \(x = -2\).

б) \(\frac{x^2 — 4}{x — 2} = x^2\)

Числитель — разность квадратов:
\[
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2).
\]

При \(x \ne 2\) можно сократить:
\[
\frac{(x — 2)(x + 2)}{x — 2} = x + 2.
\]

Уравнение становится:
\[
x + 2 = x^2.
\]

Переносим всё вправо:
\[
x^2 — x — 2 = 0.
\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\]

Корни:
\[
x = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 2,\quad x_2 = -1.
\]

Но \(x = 2\) запрещено, так как при этом знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Остаётся:
\[
x = -1.
\]

Проверка:
— Левая часть: \(\frac{(-1)^2 — 4}{-1 — 2} = \frac{1 — 4}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1\),
— Правая часть: \((-1)^2 = 1\).

Верно.

Графически: прямая \(y = x + 2\) и парабола \(y = x^2\) пересекаются в двух точках, но одна из них (\(x = 2\)) «выколота» из графика рациональной функции, поэтому остаётся только точка \(x = -1\).

Ответ: \(x = -1\).

в) \(x^2 = \frac{3x^8}{x^7}\)

Упростим правую часть. При \(x \ne 0\):
\[
\frac{3x^8}{x^7} = 3x^{8-7} = 3x.
\]

Получаем уравнение:
\[
x^2 = 3x.
\]

Переносим всё влево:
\[
x^2 — 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 3) = 0.
\]

Решения: \(x = 0\) и \(x = 3\).
Но \(x = 0\) не допускается, так как в исходном выражении знаменатель \(x^7 = 0\). Следовательно:
\[
x = 3.
\]

Проверка:
— Левая часть: \(3^2 = 9\),
— Правая часть: \(\frac{3 \cdot 3^8}{3^7} = 3 \cdot 3^{8-7} = 3 \cdot 3 = 9\).

Верно.

Графически: парабола \(y = x^2\) и прямая \(y = 3x\) пересекаются в точках \(x = 0\) и \(x = 3\), но \(x = 0\) исключена из области определения рациональной функции.

Ответ: \(x = 3\).

г) \(\frac{x^2 — 4}{x + 2} = -x^2\)

Снова используем разность квадратов:
\[
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2).
\]

При \(x \ne -2\) сокращаем:
\[
\frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} = x — 2.
\]

Уравнение принимает вид:
\[
x — 2 = -x^2.
\]

Переносим всё влево:
\[
x^2 + x — 2 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\]

Корни:
\[
x = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 1,\quad x_2 = -2.
\]

Но \(x = -2\) недопустимо, так как знаменатель обращается в ноль. Остаётся:
\[
x = 1.
\]

Проверка:
— Левая часть: \(\frac{1^2 — 4}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1\),
— Правая часть: \(-1^2 = -1\).

Верно.

Графически: прямая \(y = x — 2\) и парабола \(y = -x^2\) пересекаются в двух точках, но точка \(x = -2\) выколота, поэтому единственное решение — \(x = 1\).

Ответ: \(x = 1\).