ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 45.16 Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях \(p\) данное уравнение имеет один корень:

а) \(\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p;\)

б) \(\frac{x^4 — 4x^3}{x^2 — 4x} = p;\)

в) \(\frac{9x^2 — 3x^3}{3x — 9} = p;\)

г) \(\frac{x^4 — 2x^3}{x^2 — 2x} = p?\)

а) \(\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p\)

\(\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = \frac{2x^2(x + 3)}{2(x + 3)} = x^2,\quad x \ne -3\)

Ответ: при \(p = 0\), \(p = 9\).

б) \(\frac{x^4 — 4x^3}{x^2 — 4x} = p\)

\(\frac{x^4 — 4x^3}{x^2 — 4x} = \frac{x^3(x — 4)}{x(x — 4)} = x^2,\quad x \ne 0,\quad x \ne 4\)

Ответ: при \(p = 16\).

в) \(\frac{9x^2 — 3x^3}{3x — 9} = p\)

\(\frac{9x^2 — 3x^3}{3x — 9} = \frac{3x^2(3 — x)}{3(x — 3)} = -x^2,\quad x \ne 3\)

Ответ: при \(p = 0\), \(p = -9\).

г) \(\frac{x^4 — 2x^3}{x^2 — 2x} = p\)

\(\frac{x^4 — 2x^3}{x^2 — 2x} = \frac{x^3(x — 2)}{x(x — 2)} = x^2,\quad x \ne 0,\quad x \ne 2\)

Ответ: при \(p = 4\).

а) \(\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p\)

Упростим левую часть. Вынесем общие множители:
\[
\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = \frac{2x^2(x + 3)}{2(x + 3)}.
\]

При \(x \ne -3\) (иначе знаменатель равен нулю) дробь сокращается:
\[
\frac{2x^2(x + 3)}{2(x + 3)} = x^2.
\]

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно:
\[
x^2 = p,\quad x \ne -3.
\]

Рассмотрим, при каких \(p\) это уравнение имеет ровно один корень.

Обычно уравнение \(x^2 = p\):
— не имеет решений, если \(p < 0\);
— имеет один корень (\(x = 0\)), если \(p = 0\);
— имеет два корня (\(x = \pm\sqrt{p}\)), если \(p > 0\).

Но здесь есть ограничение: \(x \ne -3\). Поэтому даже если уравнение \(x^2 = p\) даёт два корня, один из них может быть запрещён, и тогда останется один допустимый корень.

Рассмотрим случаи:

1. \(p = 0\):
Уравнение \(x^2 = 0\) → \(x = 0\).
\(x = 0 \ne -3\) — допустим.
→ Один корень.

2. \(p > 0\):
Корни: \(x_1 = \sqrt{p}\), \(x_2 = -\sqrt{p}\).
Чтобы остался только один корень, один из них должен быть запрещён, то есть равен \(-3\).
Возможны два подслучая:
— \(-\sqrt{p} = -3 \Rightarrow \sqrt{p} = 3 \Rightarrow p = 9\).
Тогда корни: \(x = 3\) и \(x = -3\).
Но \(x = -3\) запрещён, остаётся только \(x = 3\).
→ Один корень
— \(\sqrt{p} = -3\) — невозможно, так как \(\sqrt{p} \geq 0\).

3. \(p < 0\): нет решений → не подходит.

Итак, уравнение имеет ровно один корень при \(p = 0\) и \(p = 9\).

Ответ: при \(p = 0\), \(p = 9\).

б) \(\frac{x^4 — 4x^3}{x^2 — 4x} = p\)

Упростим:
\[
\frac{x^4 — 4x^3}{x^2 — 4x} = \frac{x^3(x — 4)}{x(x — 4)}.
\]

При \(x \ne 0\) и \(x \ne 4\) (чтобы знаменатель не был нулём) сокращаем:
\[
\frac{x^3(x — 4)}{x(x — 4)} = x^2.
\]

Получаем:
\[
x^2 = p,\quad x \ne 0,\quad x \ne 4.
\]

Анализируем количество корней:

— При \(p < 0\): нет решений.
— При \(p = 0\): \(x = 0\), но \(x = 0\) запрещён → нет решений.
— При \(p > 0\): корни \(x = \pm\sqrt{p}\).

Чтобы было ровно один корень, один из корней должен быть запрещён, а другой — допустим.

Запрещённые значения: \(x = 0\) и \(x = 4\).

— \(x = 0\) не может быть корнем при \(p > 0\), так как \(\sqrt{p} > 0\).
— Рассмотрим, когда один из корней равен \(4\):
\(\sqrt{p} = 4 \Rightarrow p = 16\).
Тогда корни: \(x = 4\) и \(x = -4\).
Но \(x = 4\) запрещён, остаётся только \(x = -4\), который допустим (\(-4 \ne 0\), \(-4 \ne 4\)).

Если \(p \ne 16\), то оба корня допустимы (например, при \(p = 1\): \(x = \pm1\), оба разрешены) → два корня.

Следовательно, единственное значение, при котором уравнение имеет ровно один корень, — это \(p = 16\).

Ответ: при \(p = 16\).

в) \(\frac{9x^2 — 3x^3}{3x — 9} = p\)

Преобразуем числитель и знаменатель:
\[
\frac{9x^2 — 3x^3}{3x — 9} = \frac{-3x^3 + 9x^2}{3x — 9} = \frac{3x^2(3 — x)}{3(x — 3)}.
\]

Заметим, что \(3 — x = -(x — 3)\), поэтому:
\[
\frac{3x^2(3 — x)}{3(x — 3)} = \frac{3x^2 \cdot (-(x — 3))}{3(x — 3)} = -x^2,
\]

при условии \(x \ne 3\) (знаменатель не ноль).

Итак, уравнение:
\[
-x^2 = p \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = -p,\quad x \ne 3.
\]

Рассмотрим количество корней.

Уравнение \(x^2 = -p\):
— имеет решения, только если \(-p \geq 0 \Rightarrow p \leq 0\);
— при \(p = 0\): \(x = 0\);
— при \(p < 0\): \(x = \pm\sqrt{-p}\) — два корня.

Теперь учтём ограничение \(x \ne 3\).

1. \(p = 0\):
\(x = 0\), и \(0 \ne 3\) — допустим.
→ Один корень.

2. \(p < 0\):
Корни: \(x = \pm\sqrt{-p}\).
Чтобы остался один корень, один из них должен быть равен \(3\).
Пусть \(\sqrt{-p} = 3 \Rightarrow -p = 9 \Rightarrow p = -9\).
Тогда корни: \(x = 3\) и \(x = -3\).
Но \(x = 3\) запрещён, остаётся \(x = -3\) — допустим.
→ Один корень.

3. Другие значения \(p < 0\): оба корня допустимы → два решения.

Итак, уравнение имеет ровно один корень при \(p = 0\) и \(p = -9\).

Ответ: при \(p = 0\), \(p = -9\).

г) \(\frac{x^4 — 2x^3}{x^2 — 2x} = p\)

Упростим:
\[
\frac{x^4 — 2x^3}{x^2 — 2x} = \frac{x^3(x — 2)}{x(x — 2)}.
\]

При \(x \ne 0\) и \(x \ne 2\) сокращаем:
\[
\frac{x^3(x — 2)}{x(x — 2)} = x^2.
\]

Получаем:
\[
x^2 = p,\quad x \ne 0,\quad x \ne 2.
\]

Анализ:

— \(p < 0\): нет решений.
— \(p = 0\): \(x = 0\) — запрещён → нет решений.
— \(p > 0\): корни \(x = \pm\sqrt{p}\).

Чтобы был ровно один корень, один из корней должен быть запрещён.

Запрещённые значения: \(0\) и \(2\).
\(x = 0\) не может быть корнем при \(p > 0\).
Пусть \(\sqrt{p} = 2 \Rightarrow p = 4\).
Тогда корни: \(x = 2\) и \(x = -2\).
Но \(x = 2\) запрещён, остаётся \(x = -2\) — допустим.

При любом другом \(p > 0\) (например, \(p = 1\), \(p = 9\)) оба корня допустимы → два решения.

Следовательно, единственное значение \(p\), при котором уравнение имеет ровно один корень, — это \(p = 4\).

Ответ: при \(p = 4\).