ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 45.8 Мордкович — Подробные Ответы

а) На графике функции у = -х² найдите точку, ордината которой на 6 меньше абсциссы, б) На графике функции у = -х² найдите точку, абсцисса которой на 2 больше ординаты.

а)
\( y = -x^2 \)
\( y = x — 6 \)
\( x — 6 = -x^2 \)
\( x^2 + x — 6 = 0 \)
\( (x + 3)(x — 2) = 0 \)
\( x_1 = -3, x_2 = 2 \)
При \( x_1 = -3 \), \( y_1 = -(-3)^2 = -9 \)
При \( x_2 = 2 \), \( y_2 = -(2)^2 = -4 \)
Проверка:
Для точки (-3, -9): \( -9 = -3 — 6 \) (верно)
Для точки (2, -4): \( -4 = 2 — 6 \) (верно)

Ответ: (-3, -9) и (2, -4)

б)
\( y = -x^2 \)
\( x = y + 2 \)
\( y = — (y + 2)^2 \)
\( y = — (y^2 + 4y + 4) \)
\( y = -y^2 — 4y — 4 \)
\( y^2 + 5y + 4 = 0 \)
\( (y + 1)(y + 4) = 0 \)
\( y_1 = -1, y_2 = -4 \)
При \( y_1 = -1 \), \( x_1 = -1 + 2 = 1 \)
При \( y_2 = -4 \), \( x_2 = -4 + 2 = -2 \)
Проверка:
Для точки (1, -1): \( -1 = -(1)^2 \) (верно)
Для точки (-2, -4): \( -4 = -(-2)^2 \) (верно)

Ответ: (1, -1) и (-2, -4)

а) На графике функции \( y = -x^2 \) найдите точку, ордината которой на 6 меньше абсциссы.

Пусть координаты искомой точки — \((x; y)\).
По условию, ордината на 6 меньше абсциссы, то есть:
\[
y = x — 6.
\]

Но точка лежит на графике функции \( y = -x^2 \), значит, её координаты должны удовлетворять и этому уравнению.
Подставим выражение для \(y\) из условия в уравнение функции:

\[
x — 6 = -x^2.
\]

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

\[
x^2 + x — 6 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\]

Корни:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}.
\]

Таким образом:

— \(x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\),
— \(x_2 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).

Теперь найдём соответствующие значения \(y\), используя \(y = x — 6\):

— При \(x = 2\): \(y = 2 — 6 = -4\),
— При \(x = -3\): \(y = -3 — 6 = -9\).

Проверим, лежат ли эти точки на графике \(y = -x^2\):

— Для \((2; -4)\): \(-x^2 = -4\) → верно.
— Для \((-3; -9)\): \(-x^2 = -9\) → верно.

Значит, таких точек две: \((2; -4)\) и \((-3; -9)\).

Ответ: точки \((2; -4)\) и \((-3; -9)\).

б) На графике функции \( y = -x^2 \) найдите точку, абсцисса которой на 2 больше ординаты.

Пусть координаты искомой точки — \((x; y)\).
По условию, **абсцисса на 2 больше ординаты**, то есть:
\[
x = y + 2.
\]

Выразим \(y\) через \(x\):
\[
y = x — 2.
\]

Точка лежит на графике \(y = -x^2\), поэтому подставим это выражение в уравнение функции:

\[
x — 2 = -x^2.
\]

Переносим всё в левую часть:

\[
x^2 + x — 2 = 0.
\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\]

Корни:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.
\]

Таким образом:

— \(x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
— \(x_2 = \frac{-1 — 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).

Найдём соответствующие значения \(y = x — 2\):

— При \(x = 1\): \(y = 1 — 2 = -1\),
— При \(x = -2\): \(y = -2 — 2 = -4\).

Проверим, лежат ли точки на графике \(y = -x^2\):

— Для \((1; -1)\): \(-x^2 = -1\) → верно.
— Для \((-2; -4)\): \(-x^2 = -4\) → верно.

Следовательно, таких точек тоже две: \((1; -1)\) и \((-2; -4)\).

Ответ: точки \((1; -1)\) и \((-2; -4)\).

Итог:

а) Точки, ордината которых на 6 меньше абсциссы: \((2; -4)\), \((-3; -9)\).
б) Точки, абсцисса которых на 2 больше ординаты: \((1; -1)\), \((-2; -4)\).