ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.1 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(х), где f(х) = 8х. Найдите: а) f(0), f(-2), f(1), f(\(\frac{1}{2}\)); б) f(а),f(-a),f(2а),f(\(\frac{-1а}{4}\)); в) f(b + 2), f(1 — b), f(3b — 8), f(\(\frac{7-b}{8}\)); г) f(c) + 3, f(-3с) -1, -f(c — 3), -f(c) + 1.

\(y = f(x),\quad f(x) = 8x\)

а) \(f(0) = 8 \cdot 0 = 0,\quad f(-2) = 8 \cdot (-2) = -16,\)
\(f(1) = 8 \cdot 1 = 8,\quad f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.\)

б) \(f(a) = 8a,\quad f(-a) = -8a,\quad f(2a) = 8 \cdot 2a = 16a,\)
\(f\!\left(-\frac{1}{4}a\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}a\right) = -2a.\)

в) \(f(b + 2) = 8(b + 2) = 8b + 16,\quad f(1 — b) = 8(1 — b) = 8 — 8b,\)
\(f(3b — 8) = 8(3b — 8) = 24b — 64,\)
\(f\!\left(7 — \frac{b}{8}\right) = 8\left(7 — \frac{b}{8}\right) = 56 — b.\)

г) \(f(c) + 3 = 8c + 3,\quad f(-3c) — 1 = 8 \cdot (-3c) — 1 = -24c — 1,\)
\(-f(c — 3) = -8(c — 3) = -8c + 24,\quad -f(c) + 1 = -8c + 1.\)

а) Найдём значения функции в конкретных числовых точках.

Подставляем указанные значения \(x\) в формулу \(f(x) = 8x\):

— \(f(0) = 8 \cdot 0 = 0\).
Это соответствует тому, что график проходит через начало координат.

— \(f(-2) = 8 \cdot (-2) = -16\).
Отрицательный аргумент даёт отрицательное значение, что логично для возрастающей линейной функции.

— \(f(1) = 8 \cdot 1 = 8\).
Стандартное значение: при \(x = 1\) функция равна своему угловому коэффициенту.

— \(f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\).
Половина от 8 — это 4, что согласуется с пропорциональностью.

Все вычисления подтверждают линейную зависимость между \(x\) и \(f(x)\).

б) Найдём значения функции от выражений, содержащих параметр \(a\).

Здесь мы работаем с буквенными аргументами, но принцип тот же — подстановка в формулу:

— \(f(a) = 8a\) — прямая подстановка.
— \(f(-a) = 8 \cdot (-a) = -8a\).
Функция нечётная: \(f(-x) = -f(x)\), что характерно для всех линейных функций вида \(f(x) = kx\).
— \(f(2a) = 8 \cdot 2a = 16a\).
Удвоение аргумента приводит к удвоению значения функции.
— \(f\!\left(-\frac{1}{4}a\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}a\right) = -2a\).
Умножение аргумента на \(-\frac{1}{4}\) приводит к умножению значения функции на тот же коэффициент.

Эти результаты иллюстрируют линейность и пропорциональность функции.

в) Найдём значения функции от линейных выражений с параметром \(b\).

Теперь аргумент — не просто число или кратное \(a\), а линейное выражение. Применяем правило: \(f(\text{выражение}) = 8 \cdot (\text{выражение})\), затем раскрываем скобки.

— \(f(b + 2) = 8(b + 2) = 8b + 16\).
Использовано распределительное свойство умножения: \(8 \cdot (b + 2) = 8b + 8 \cdot 2\).

— \(f(1 — b) = 8(1 — b) = 8 — 8b\).
Аналогично: \(8 \cdot 1 — 8 \cdot b\).

— \(f(3b — 8) = 8(3b — 8) = 24b — 64\).
Здесь \(8 \cdot 3b = 24b\), \(8 \cdot (-8) = -64\).

— \(f\!\left(7 — \frac{b}{8}\right) = 8\left(7 — \frac{b}{8}\right) = 8 \cdot 7 — 8 \cdot \frac{b}{8} = 56 — b\).
Обратите внимание: множитель \(8\) сокращается с знаменателем дроби \(\frac{b}{8}\), оставляя просто \(-b\).

Эти преобразования показывают, как линейная функция «распределяется» по сумме или разности.

г) Рассмотрим выражения, содержащие саму функцию \(f(c)\) и арифметические операции над ней.

Здесь важно различать:
— \(f(\text{аргумент})\) — значение функции от нового аргумента,
— \(f(c) + 3\) — значение функции от \(c\), увеличенное на 3.

Вычислим каждое выражение:

— \(f(c) + 3 = 8c + 3\).
Сначала находим \(f(c) = 8c\), затем прибавляем 3.

— \(f(-3c) — 1 = 8 \cdot (-3c) — 1 = -24c — 1\).
Сначала подставляем \(-3c\) в функцию, получаем \(-24c\), затем вычитаем 1.

— \(-f(c — 3) = -[8(c — 3)] = -8(c — 3) = -8c + 24\).
Сначала вычисляем \(f(c — 3) = 8(c — 3)\), затем ставим минус перед всем выражением. Раскрывая скобки, получаем \(-8c + 24\).

— \(-f(c) + 1 = -(8c) + 1 = -8c + 1\).
Минус применяется только к значению функции, затем прибавляется 1.

Эти примеры демонстрируют разницу между преобразованием аргумента и преобразованием значения функции — важное понятие в математике.