ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.10 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(х) = \(х^2\). При каких значениях х выполняется равенство:

\(y = f(x),\quad f(x) = x^2\)

а) \(f(x — 9) = f(x + 5)\)
\((x — 9)^2 = (x + 5)^2\)
\(x^2 — 18x + 81 = x^2 + 10x + 25\)
\(10x + 18x = 81 — 25\)
\(28x = 56\)
\(x = 2.\)

б) \(f(2x — 7) = f(2x + 3)\)
\((2x — 7)^2 = (2x + 3)^2\)
\(4x^2 — 28x + 49 = 4x^2 + 12x + 9\)
\(12x + 28x = 49 — 9\)
\(40x = 40\)
\(x = 1.\)

в) \(f(x — 1) = f(x — 7)\)
\((x — 1)^2 = (x — 7)^2\)
\(x^2 — 2x + 1 = x^2 — 14x + 49\)
\(-2x + 14x = 49 — 1\)
\(12x = 48\)
\(x = 4.\)

г) \(f(1 + 3x) = f(3x + 5)\)
\((1 + 3x)^2 = (3x + 5)^2\)
\(1 + 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x + 25\)
\(30x — 6x = 1 — 25\)
\(24x = -24\)
\(x = -1.\)

а) \(f(x — 9) = f(x + 5)\)

Подставим определение функции:
\[
(x — 9)^2 = (x + 5)^2.
\]

Раскроем обе скобки по формуле квадрата разности и суммы:
\[
x^2 — 18x + 81 = x^2 + 10x + 25.
\]

Вычтем \(x^2\) из обеих частей (оно сокращается):
\[
-18x + 81 = 10x + 25.
\]

Перенесём все члены с \(x\) вправо, а числа — влево:
\[
81 — 25 = 10x + 18x,
\]

\[
56 = 28x,
\]

\[
x = 2.
\]

Геометрическая интерпретация:
Точки \(x — 9\) и \(x + 5\) должны быть равноудалены от нуля. Их среднее арифметическое — это середина отрезка между ними, и она должна быть равна 0:
\[
\frac{(x — 9) + (x + 5)}{2} = 0 \Rightarrow \frac{2x — 4}{2} = 0 \Rightarrow x = 2.
\]

Проверка:
— \(x — 9 = 2 — 9 = -7\),
— \(x + 5 = 2 + 5 = 7\),
— \(f(-7) = 49 = f(7)\) — верно.

Ответ: \(2\).

б) \(f(2x — 7) = f(2x + 3)\)

Подставим:
\[
(2x — 7)^2 = (2x + 3)^2.
\]

Раскрываем скобки:
\[
4x^2 — 28x + 49 = 4x^2 + 12x + 9.
\]

Вычитаем \(4x^2\) из обеих частей:
\[
-28x + 49 = 12x + 9.
\]

Переносим:
\[
49 — 9 = 12x + 28x,
\]

\[
40 = 40x,
\]

\[
x = 1.
\]

Геометрически:
Среднее арифметическое аргументов:
\[
\frac{(2x — 7) + (2x + 3)}{2} = \frac{4x — 4}{2} = 2x — 2.
\]

Приравниваем к нулю (ось симметрии параболы):
\(2x — 2 = 0 \Rightarrow x = 1\).

Проверка:
— \(2x — 7 = 2 — 7 = -5\),
— \(2x + 3 = 2 + 3 = 5\),
— \(f(-5) = 25 = f(5)\) — верно.

Ответ: \(1\).

в) \(f(x — 1) = f(x — 7)\)

Подставим:
\[
(x — 1)^2 = (x — 7)^2.
\]

Раскрываем:
\[
x^2 — 2x + 1 = x^2 — 14x + 49.
\]

Сокращаем \(x^2\):
\[
-2x + 1 = -14x + 49.
\]

Переносим:
\[
-2x + 14x = 49 — 1,
\]

\[
12x = 48,
\]

\[
x = 4.
\]

Геометрически:
Среднее арифметическое:
\[
\frac{(x — 1) + (x — 7)}{2} = \frac{2x — 8}{2} = x — 4.
\]

Приравниваем к нулю: \(x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).

Проверка:
— \(x — 1 = 3\),
— \(x — 7 = -3\),
— \(f(3) = 9 = f(-3)\) — верно.

Ответ: \(4\).

г) \(f(1 + 3x) = f(3x + 5)\)

Подставим:
\[
(1 + 3x)^2 = (3x + 5)^2.
\]

Раскрываем:
\[
1 + 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x + 25.
\]

Сокращаем \(9x^2\):
\[
1 + 6x = 30x + 25.
\]

Переносим:
\[
1 — 25 = 30x — 6x,
\]

\[
-24 = 24x,
\]

\[
x = -1.
\]

Геометрически:
Среднее арифметическое:
\[
\frac{(1 + 3x) + (3x + 5)}{2} = \frac{6x + 6}{2} = 3x + 3.
\]

Приравниваем к нулю: \(3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1\).

Проверка:
— \(1 + 3x = 1 — 3 = -2\),
— \(3x + 5 = -3 + 5 = 2\),
— \(f(-2) = 4 = f(2)\) — верно.

Ответ: \(-1\).