ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.2 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(х), где f(х) = 5х + 6. Найдите: а) f(\(\frac{1}{4}\)), f(-3), f(0,5), f(6*\(\frac{2}{5}\)); б) f(p), f(-2p), f(\(\frac{3p}{5}\))), -f(5р); в) f(a + 1), f(5 — а), f\(\frac{3p}{5}\)), -f(5p); г) f(а — 3) + 1, f(a + 4)-2, f(1 — 2а), f(\(\frac{а+6}{5}\)))

\(y = f(x),\quad f(x) = 5x + 6\)

а) \(f\!\left(\frac{1}{4}\right) = 5 \cdot \frac{1}{4} + 6 = \frac{5}{4} + 6 = 1\frac{1}{4} + 6 = 7\frac{1}{4},\)
\(f(-3) = 5 \cdot (-3) + 6 = -15 + 6 = -9,\)
\(f(0{,}5) = 5 \cdot 0{,}5 + 6 = 2{,}5 + 6 = 8{,}5,\)
\(f\!\left(6\frac{2}{5}\right) = 5 \cdot 6\frac{2}{5} + 6 = 5 \cdot \frac{32}{5} + 6 = 32 + 6 = 38.\)

б) \(f(p) = 5p + 6,\quad f(-2p) = 5 \cdot (-2p) + 6 = -10p + 6,\)
\(f\!\left(\frac{3}{5}p\right) = 5 \cdot \frac{3}{5}p + 6 = 3p + 6,\)
\(-f(5p) = -5 \cdot 5p + 6 = -25p + 6.\)

в) \(f(a + 1) = 5(a + 1) + 6 = 5a + 5 + 6 = 5a + 11,\)
\(f(5 — a) = 5(5 — a) + 6 = 25 — 5a + 6 = 31 — 5a,\)
\(f(a) — 6 = 5a + 6 — 6 = 5a,\)
\(f\!\left(\frac{a}{10}\right) — 3 = 5 \cdot \frac{a}{10} + 6 — 3 = \frac{1}{2}a + 3.\)

г) \(f(a — 3) + 1 = 5(a — 3) + 6 + 1 = 5a — 15 + 7 = 5a — 8,\)
\(f(a + 4) — 2 = 5(a + 4) + 6 — 2 = 5a + 20 + 4 = 5a + 24,\)
\(f(1 — 2a) = 5(1 — 2a) + 6 = 5 — 10a + 6 = 11 — 10a,\)
\(-f\!\left(\frac{a + 6}{5}\right) = -5 \cdot \left(\frac{a + 6}{5}\right) + 6 = -a — 6 + 6 = -a.\)

а) Найдём значения функции в конкретных числовых точках

Подставляем указанные значения \(x\) в формулу \(f(x) = 5x + 6\):

— \(f\!\left(\frac{1}{4}\right)\)
Сначала умножаем: \(5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\).
Затем прибавляем 6: \(\frac{5}{4} + 6 = \frac{5}{4} + \frac{24}{4} = \frac{29}{4} = 7\frac{1}{4}\).
Это значение можно записать как неправильную дробь \(\frac{29}{4}\) или смешанное число \(7\frac{1}{4}\).

— \(f(-3)\)
\(5 \cdot (-3) = -15\), затем \(-15 + 6 = -9\).
Отрицательный аргумент даёт отрицательное значение, но благодаря свободному члену результат не так сильно «уходит» вниз.

— \(f(0{,}5)\)
\(0{,}5 = \frac{1}{2}\), поэтому \(5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\).
Далее: \(2{,}5 + 6 = 8{,}5\).
Десятичная дробь удобна для быстрых вычислений.

— \(f\!\left(6\frac{2}{5}\right)\)
Сначала переводим смешанное число в неправильную дробь: \(6\frac{2}{5} = \frac{32}{5}\).
Умножаем: \(5 \cdot \frac{32}{5} = 32\) (пятёрки сокращаются).
Прибавляем 6: \(32 + 6 = 38\).
Это пример, где дробная часть «исчезает» благодаря умножению на знаменатель.

Все вычисления подтверждают корректность подстановки и арифметических операций.

б) Найдём значения функции от выражений с параметром \(p\)

Здесь мы работаем с буквенными аргументами, но принцип тот же — подставить в формулу:

— \(f(p) = 5p + 6\) — прямая подстановка.
— \(f(-2p) = 5 \cdot (-2p) + 6 = -10p + 6\) — аргумент умножен на \(-2\), что влияет только на первую часть.
— \(f\!\left(\frac{3}{5}p\right) = 5 \cdot \frac{3}{5}p + 6 = 3p + 6\) — множитель \(5\) сокращается с знаменателем, остаётся \(3p\).
— \(-f(5p) = -(5 \cdot 5p + 6) = -25p — 6\)
Правильно: минус применяется ко всему значению функции, то есть:
\[
-f(5p) = -\big(5 \cdot 5p + 6\big) = -25p — 6.
\]

в) Работа с выражениями, содержащими параметр \(a\)

Теперь аргумент — линейное выражение. Применяем подстановку и упрощаем:

— \(f(a + 1) = 5(a + 1) + 6 = 5a + 5 + 6 = 5a + 11\)— раскрытие скобок и сложение констант.
— \(f(5 — a) = 5(5 — a) + 6 = 25 — 5a + 6 = 31 — 5a\) — аналогично.
— \(f(a) — 6 = (5a + 6) — 6 = 5a\)** — свободный член исчезает, остаётся только линейная часть.
— \(f\!\left(\frac{a}{10}\right) — 3 = 5 \cdot \frac{a}{10} + 6 — 3 = \frac{1}{2}a + 3\) — упрощение дроби и констант.

Эти примеры показывают, как можно комбинировать функцию с внешними арифметическими операциями.

г) Комбинированные выражения с несколькими преобразованиями

Здесь сочетаются подстановка, раскрытие скобок и внешние действия:

— \(f(a — 3) + 1 = 5(a — 3) + 6 + 1 = 5a — 15 + 7 = 5a — 8\) — сначала вычисляем функцию, затем прибавляем 1.
— \(f(a + 4) — 2 = 5(a + 4) + 6 — 2 = 5a + 20 + 4 = 5a + 24\) — аналогично.
— \(f(1 — 2a) = 5(1 — 2a) + 6 = 5 — 10a + 6 = 11 — 10a\) — стандартная подстановка.
— \(-f\!\left(\frac{a + 6}{5}\right) = -\left[5 \cdot \left(\frac{a + 6}{5}\right) + 6\right] = -\big[(a + 6) + 6\big] = -a — 12\)
В извлечённом тексте написано: \(-f\!\left(\frac{a + 6}{5}\right) = -a\), но это неверно.
Правильно:
\[
f\!\left(\frac{a + 6}{5}\right) = 5 \cdot \frac{a + 6}{5} + 6 = (a + 6) + 6 = a + 12,
\]

значит,
\[
-f\!\left(\frac{a + 6}{5}\right) = -a — 12.
\]