ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.22 Мордкович — Подробные Ответы

Для функций из упражнения 39.19 а) найдите: а) область определения; б) множество значений функции; в) промежутки убывания и возрастания; г) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля.

y =
{ -x², -1 ≤ x ≤ 2
2x — 8, 2 < x ≤ 5

а) Область определения: [-1; 5].

б) Множество значений: [-4; 2].

в) Функция возрастает при x ∈ [-1; 0] и [2; 5];
убывает при x ∈ [0; 2].

г) y = 0 при x = 0 и x = 4,
y > 0 при x ∈ (4; 5],
y < 0 при x ∈ [-1; 0) и (0; 4).

Дана кусочная функция:

\[
y =
\begin{cases}
-x^2, & -1 \leq x \leq 2, \\
2x — 8, & 2 < x \leq 5.
\end{cases}
\]

Эта функция состоит из двух частей:
— На отрезке \([-1; 2]\) — это парабола \(y = -x^2\), ветви направлены вниз, вершина в точке \((0; 0)\).
— На полуинтервале \((2; 5]\) — это прямая \(y = 2x — 8\), возрастающая, с угловым коэффициентом 2.

Важно: в точке \(x = 2\) функция определена только первой формулой, так как вторая часть задана при \(x > 2\). Следовательно, \(f(2) = -(2)^2 = -4\).

а) Область определения

Область определения — это множество всех значений \(x\), при которых функция имеет смысл.

Первая часть задана на \([-1; 2]\), вторая — на \((2; 5]\).
Объединяя эти промежутки, получаем:
\[
[-1; 2] \cup (2; 5] = [-1; 5].
\]

Точка \(x = 2\) включена (из первой части), поэтому разрыва в области определения нет.

Ответ: \([-1; 5]\).

б) Множество значений (область значений)

Найдём все возможные значения \(y\).

1. На \([-1; 2]\):
Функция \(y = -x^2\).
— При \(x = 0\): \(y = 0\) — максимум (вершина параболы).
— При \(x = -1\): \(y = -(-1)^2 = -1\).
— При \(x = 2\): \(y = -4\).

Поскольку парабола непрерывна и убывает на \([0; 2]\), возрастает на \([-1; 0]\), множество значений на этом участке: \([-4; 0]\).

2. На \((2; 5]\):
Функция \(y = 2x — 8\) — линейная, возрастающая.
— При \(x \to 2^+\): \(y \to 2 \cdot 2 — 8 = -4\), но значение \(-4\) **не достигается** (так как \(x = 2\) не входит в этот промежуток).
— При \(x = 5\): \(y = 2 \cdot 5 — 8 = 10 — 8 = 2\).

Следовательно, значения на этом участке: \((-4; 2]\).

Объединяем оба множества:
\[
[-4; 0] \cup (-4; 2] = [-4; 2].
\]

Значение \(-4\) достигается при \(x = 2\) (из первой части), значение \(2\) — при \(x = 5\), а все промежуточные значения покрыты.

Ответ: \([-4; 2]\).

в) Промежутки возрастания и убывания

Анализируем каждую часть:

1. \(y = -x^2\) на \([-1; 2]\):
— Производная \(y’ = -2x\).
— При \(x < 0\): \(y’ > 0\) → функция возрастает.
— При \(x > 0\): \(y’ < 0\) → функция убывает.
— При \(x = 0\): экстремум.

Следовательно:
— Возрастает на \([-1; 0]\),
— Убывает на \([0; 2]\).

2. \(y = 2x — 8\) на \((2; 5]\):
Производная \(y’ = 2 > 0\) → функция возрастает на всём промежутке.

Итог:
— Функция возрастает на \([-1; 0]\) и \([2; 5]\),
— Убывает на \([0; 2]\).

г) Знаки функции

Найдём, где \(y = 0\), \(y > 0\), \(y < 0\).

1. Нули функции (\(y = 0\)):
— В первой части: \(-x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) (принадлежит \([-1; 2]\)).
— Во второй части: \(2x — 8 = 0 \Rightarrow x = 4\) (принадлежит \((2; 5]\)).

Итак, \(y = 0\) при \(x = 0\) и \(x = 4\).

2. Где \(y > 0\)?
— Первая часть: \(-x^2 \leq 0\) всегда → нет положительных значений.
— Вторая часть: \(2x — 8 > 0 \Rightarrow x > 4\).
Учитывая область определения: \(x \in (4; 5]\).

3. Где \(y < 0\)?
— Первая часть: \(-x^2 < 0\) при \(x \ne 0\) → \(x \in [-1; 0) \cup (0; 2]\).
— Вторая часть: \(2x — 8 < 0 \Rightarrow x < 4\) → \(x \in (2; 4)\).

Объединяя:
\[
y < 0 \text{ при } x \in [-1; 0) \cup (0; 4).
\]

(Заметим, что \(x = 2\) входит в первую часть, где \(y = -4 < 0\), поэтому интервал \((0; 4)\) включает \(x = 2\).)