ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.3 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = -3x + 2. Найдите: а) f(О), f(\(\frac{2}{3}\)), f(-3), f(-\(\frac{1}{2}\)); б) f(-x), -f(x), f(2x), f(x — 2); в) f(x2), (f(x))2, f((х — 1)2), (f(-x2) — 1)2; г) f(-x3), f(2×3), f((2x)3), (f2x))3.

\(y = f(x),\quad f(x) = -3x + 2\)

а) \(f(0) = -3 \cdot 0 + 2 = 2,\)
\(f\!\left(\frac{2}{3}\right) = -3 \cdot \frac{2}{3} + 2 = -2 + 2 = 0,\)
\(f(-3) = -3 \cdot (-3) + 2 = 9 + 2 = 11,\)
\(f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5.\)

б) \(f(-x) = -3 \cdot (-x) + 2 = 3x + 2,\)
\(-f(x) = -((-3x) + 2) = 3x — 2,\)
\(f(2x) = -3 \cdot 2x + 2 = -6x + 2,\)
\(f(x — 2) = -3(x — 2) + 2 = -3x + 6 + 2 = -3x + 8.\)

в) \(f(x^2) = -3x^2 + 2,\)
\((f(x))^2 = (-3x + 2)^2 = 9x^2 — 12x + 4,\)
\(f((x — 1)^2) = -3(x — 1)^2 + 2 = -3(x^2 — 2x + 1) + 2 =\)
\(= -3x^2 + 6x — 3 + 2 = -3x^2 + 6x — 1,\)
\((f(-x^2) — 1)^2 = (-3(-x^2) — 1 + 2)^2 = (3x^2 + 1)^2 =\)
\(= 9x^4 + 6x^2 + 1.\)

г) \(f(-x^3) = -3(-x^3) + 2 = 3x^3 + 2,\)
\(f(2x^3) = -3 \cdot 2x^3 + 2 = -6x^3 + 2,\)
\(f((2x)^3) = -3 \cdot (2x)^3 + 2 = -3 \cdot 8x^3 + 2 = -24x^3 + 2,\)
\((f(2x))^3 = (-3 \cdot 2x + 2)^3 = (-6x + 2)^3 = (-6x + 2)(-6x + 2)^2 =\)
\(= (-6x + 2)(36x^2 — 24x + 4) = -216x^3 + 144x^2 — 24x + 72x^2 — 48x + 8 =\)
\(= -216x^3 + 216x^2 — 72x + 8.\)

а) Найдём значения функции в конкретных числовых точках

Подставляем указанные значения \(x\) в формулу \(f(x) = -3x + 2\):

— \(f(0) = -3 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2\)*
Это значение функции в начале координат — совпадает со свободным членом.

— \(f\!\left(\frac{2}{3}\right) = -3 \cdot \frac{2}{3} + 2 = -2 + 2 = 0\)
Интересный случай: при \(x = \frac{2}{3}\) функция обращается в ноль. Это нуль функции, или корень уравнения \(f(x) = 0\).

— \(f(-3) = -3 \cdot (-3) + 2 = 9 + 2 = 11\)
Отрицательный аргумент при отрицательном коэффициенте даёт положительное слагаемое.

— \(f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5\)
Результат можно записать как десятичную дробь (\(3{,}5\)) или обыкновенную (\(\frac{7}{2}\)).

Все вычисления подтверждают линейную зависимость и корректность арифметики.

б) Преобразования аргумента и значения функции*

Здесь важно различать:
— \(f(-x)\) — функция от противоположного аргумента,
— \(-f(x)\) — противоположное значение функции.

— \(f(-x) = -3 \cdot (-x) + 2 = 3x + 2\)
График этой функции — отражение исходного относительно оси ординат.

— \(-f(x) = -(-3x + 2) = 3x — 2\)
Здесь минус распространяется на всё выражение, включая свободный член. Это отражение графика относительно оси абсцисс.

— \(f(2x) = -3 \cdot 2x + 2 = -6x + 2\)
Сжатие графика по горизонтали в 2 раза.

— \(f(x — 2) = -3(x — 2) + 2 = -3x + 6 + 2 = -3x + 8\)
Сдвиг графика вправо на 2 единицы.

Эти примеры иллюстрируют основные преобразования графиков функций.

в) Подстановка квадратов и возведение в квадрат

Ключевой момент: \(f(x^2) \ne (f(x))^2\)

— \(f(x^2) = -3x^2 + 2\)
Сначала возводим \(x\) в квадрат, затем подставляем в функцию. Результат — квадратичная функция.

— \((f(x))^2 = (-3x + 2)^2 = 9x^2 — 12x + 4\)
Сначала находим \(f(x)\), затем возводим всё выражение в квадрат. Получаем другую квадратичную функцию.

— \(f((x — 1)^2) = -3(x — 1)^2 + 2\)
Сначала вычисляем \((x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1\), затем умножаем на \(-3\) и прибавляем 2:
\[
-3(x^2 — 2x + 1) + 2 = -3x^2 + 6x — 3 + 2 = -3x^2 + 6x — 1.
\]

— \((f(-x^2) — 1)^2\)
Вычислим по шагам:
1. \(f(-x^2) = -3(-x^2) + 2 = 3x^2 + 2\),
2. \(f(-x^2) — 1 = 3x^2 + 2 — 1 = 3x^2 + 1\),
3. \((3x^2 + 1)^2 = 9x^4 + 6x^2 + 1\).

г) Работа с кубами

Аналогично, различаем \(f(x^3)\), \(f((2x)^3)\) и \((f(2x))^3\):

— \(f(-x^3) = -3(-x^3) + 2 = 3x^3 + 2\) — нечётная степень сохраняет знак.

— \(f(2x^3) = -3 \cdot 2x^3 + 2 = -6x^3 + 2\) — аргумент умножен на 2, но только сама переменная, а не вся скобка.

— \(f((2x)^3) = -3 \cdot (8x^3) + 2 = -24x^3 + 2\) — сначала возводим \(2x\) в куб, получаем \(8x^3\).

— \((f(2x))^3 = (-6x + 2)^3\)
Раскрываем куб разности:
\[
(-6x + 2)^3 = (-6x)^3 + 3(-6x)^2(2) + 3(-6x)(2)^2 + 2^3 =
\]

\[
= -216x^3 + 216x^2 — 72x + 8.
\]

Это согласуется с пошаговым умножением, приведённым в оригинале.