ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.31 Мордкович — Подробные Ответы

Ответьте на эти вопросы для функции, график которой изображён: а) На рис. 53; 6) на рис. 54; в) на рис. 55; г) на рис. 56.

а) 1. Область определения: (–∞; +∞).
2. y_наим = 0, y_наиб — невозможно обозначить.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 при x (–∞; 0) и (0; +∞), y < 0 — нет.
5. Функция возрастает при x [0; +∞), убывает при x (–∞; 0].

б) 1. Область определения: (–∞; +∞).
2. y_наим — невозможно обозначить, y_наиб = 2.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 при x (0; +∞), y < 0 при x (–∞; 0).
5. Функция возрастает при x (–∞; 1], убывает при x — нет.

в) 1. Область определения: (–∞; +∞).
2. y_наим — невозможно обозначить, y_наиб = 2.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 при x (–∞; 0), y < 0 при x (0; +∞).
5. Функция возрастает при x — нет, убывает при x [–2; +∞).

г) 1. Область определения: (–∞; +∞).
2. y_наим = 2, y_наиб — невозможно обозначить.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 — нет, y > 0 при x (–∞; +∞), y < 0 — нет.
5. Функция возрастает при x [2; +∞), убывает при x — нет.

а) Анализ функции

1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\)
Функция определена для всех действительных чисел — нет точек разрыва, вертикальных асимптот или ограничений на \(x\).

2. Наименьшее и наибольшее значения
Указано: \(y_{\text{наим}} = 0\), а \(y_{\text{наиб}}\) «невозможно обозначить». Это означает, что функция имеет минимум, но не ограничена сверху. Типичный пример — парабола, ветви которой направлены вверх, например \(y = x^2\).

3. Непрерывность
Функция непрерывна на всей области определения — график представляет собой сплошную линию без разрывов.

4. Знаки функции
— \(y = 0\) при \(x = 0\) — график проходит через начало координат.
— \(y > 0\) при всех \(x \ne 0\) — функция положительна везде, кроме нуля.
— \(y < 0\) — нет решений, то есть функция никогда не принимает отрицательные значения.
Это подтверждает, что функция — чётная и неотрицательная, как \(y = x^2\) или \(y = |x|\).

5. Монотонность
— Возрастает на \([0; +\infty)\),
— Убывает на \((-\infty; 0]\).
Это поведение характерно для параболы \(y = x^2\): слева от вершины — убывание, справа — возрастание.

Вывод: наиболее вероятная формула — \(f(x) = x^2\).

б) Анализ функции

1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\)
Функция определена всюду.

2. Экстремумы
— \(y_{\text{наиб}} = 2\) — существует глобальный максимум,
— \(y_{\text{наим}}\) не существует — функция не ограничена снизу.
Это указывает на параболу, ветви которой направлены вниз, сдвинутую вверх так, чтобы вершина была в точке с ординатой 2.

3. Непрерывность
График — сплошная кривая.

4. Знаки функции
— \(y = 0\) при \(x = 0\),
— \(y > 0\) при \(x > 0\),
— \(y < 0\) при \(x < 0\).
Это означает, что функция меняет знак в нуле и нечётная (симметрична относительно начала координат).

5. Монотонность
— Возрастает на \((-\infty; 1]\),
— Не убывает нигде («убывает — нет»).
Однако если функция нечётная и имеет максимум, это противоречит типичному поведению параболы. Более вероятно, что здесь ошибка в описании монотонности. Скорее всего, функция возрастает на всём \(\mathbb{R}\) но достигает максимума? Это невозможно для непрерывной функции на \(\mathbb{R}\).

Альтернатива: функция кусочная. Например:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 2, & x \leq 0, \\
-x + 2, & x > 0.
\end{cases}
\]

Но тогда \(y = 0\) при \(x = -2\) и \(x = 2\), а не только при \(x = 0\).

Более правдоподобный вариант — функция с горизонтальной асимптотой, но она не может иметь максимум и быть непрерывной на \(\mathbb{R}\) с такими знаками.

Наиболее согласующийся пример — линейная функция с ограничением, но это противоречит области определения.

Вероятно, в оригинале имелась в виду функция, похожая на \(f(x) = -|x| + 2\), но тогда:
— \(y = 0\) при \(x = \pm 2\), а не при \(x = 0\).

С учётом условия \(y = 0\) только при \(x = 0\) и смены знака, наиболее правдоподобна нечётная функция, например \(f(x) = -x^3 + 2\), но тогда максимума нет.

Возможно, в пункте б допущена неточность в описании. Тем не менее, будем следовать тексту.

в) Анализ функции

1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\) — функция всюду определена.

2. Экстремумы
— \(y_{\text{наиб}} = 2\),
— \(y_{\text{наим}}\) не существует — функция не ограничена снизу.

3. Непрерывность — да.

4. Знаки функции
— \(y = 0\) при \(x = 0\),
— \(y > 0\) при \(x < 0\),
— \(y < 0\) при \(x > 0\).
Это также нечётная функция, но «зеркальная» по отношению к пункту б: положительна слева, отрицательна справа.

5. Монотонность
— Не возрастает нигде,
— Убывает на \([-2; +\infty)\).
Это странно, так как если функция убывает только начиная с \(-2\), то на \((-\infty; -2)\) она должна быть постоянной или возрастать, но сказано «возрастает — нет». Значит, на \((-\infty; -2)\) функция постоянна.

Пример кусочной функции:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2, & x < -2, \\
-x, & x \geq -2.
\end{cases}
\]

Проверим:
— \(y = 0\) при \(x = 0\) — верно,
— \(y > 0\) при \(x < 0\) — верно (при \(x < -2\): \(y = 2 > 0\); при \(-2 \leq x < 0\): \(y = -x > 0\)),
— \(y < 0\) при \(x > 0\) — верно,
— Наибольшее значение: \(y = 2\),
— Убывает на \([-2; +\infty)\), постоянна на \((-\infty; -2)\) → не возрастает нигде.

Этот пример хорошо согласуется с описанием.

г) Анализ функции

1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\) — всюду определена.

2. Экстремумы
— \(y_{\text{наим}} = 2\),
— \(y_{\text{наиб}}\) не существует — функция не ограничена сверху.

3. Непрерывность — да.

4. Знаки функции
— \(y = 0\) — нет,
— \(y > 0\) при всех \(x\),
— \(y < 0\) — нет.
Функция строго положительна.

5. Монотонность
— Возрастает на \([2; +\infty)\),
— Не убывает нигде.
Это означает, что на \((-\infty; 2)\) функция постоянна (иначе она либо возрастала бы, либо убывала).

Пример:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2, & x < 2, \\
x, & x \geq 2.
\end{cases}
\]

Проверим:
— Минимум: \(y = 2\),
— При \(x \geq 2\): \(y = x \geq 2\) → возрастает,
— При \(x < 2\): \(y = 2\) → постоянна,
— Всегда \(y \geq 2 > 0\).

Полное совпадение с описанием.