Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.32 Мордкович — Подробные Ответы
а) На рис. 57; 6) на рис. 58; в) на рис. 59; г) на рис. 60.
а) 1. Область определения: (–∞; +∞).
2. y_наим — невозможно обозначить, y_наиб = 0.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 — нет, y < 0 при x (–∞; 0) и (0; +∞).
5. Функция возрастает при x (–∞; 0], убывает при x [0; +∞).
б) 1. Область определения: (–1; +∞).
2. y_наим = 0, y_наиб = 4.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 при x (–1; 0) и (0; +∞), y < 0 — нет.
5. Функция возрастает при x [0; 2], убывает при x (–1; 0].
в) 1. Область определения: [–5; 2].
2. y_наим = –4, y_наиб = 0.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 — нет, y < 0 при x [–5; 0) и (0; 2].
5. Функция возрастает при x [–1; 0], убывает при x [0; 2].
г) 1. Область определения: (–2; 5).
2. y_наим = 0, y_наиб — невозможно обозначить.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x = 0, y > 0 при x (–2; 0) и (0; 5), y < 0 — нет.
5. Функция возрастает при x [0; 5), убывает при x (–2; 0].
а) Анализ функции
1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\)
Функция задана для всех действительных чисел — нет ограничений на аргумент.
2. Экстремумы
Наибольшее значение равно 0, а наименьшего значения не существует. Это означает, что график функции имеет **максимум** в некоторой точке и неограниченно убывает при удалении от неё в обе стороны.
3. Непрерывность
Функция непрерывна на всей числовой прямой — её график представляет собой сплошную линию без разрывов или выколотых точек.
4. Знаки функции
— \(y = 0\) только при \(x = 0\),
— \(y < 0\) при всех остальных \(x\),
— \(y > 0\) ни при каких значениях.
Следовательно, график касается оси абсцисс в начале координат и всюду ниже неё.
5. Монотонность
— Возрастает на \((-\infty; 0]\),
— Убывает на \([0; +\infty)\).
Это указывает на то, что точка \(x = 0\) является точкой максимума.
Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в начале координат, например \(f(x) = -x^2\).
б) Анализ функции
1. Область определения: \((-1; +\infty)\)
Функция не определена при \(x \leq -1\). Левая граница области — открытая, то есть точка \(x = -1\) не входит.
2. Экстремумы
Наименьшее значение равно 0, наибольшее — 4. Оба экстремума достигаются, так как указаны конкретные числа.
3. Непрерывность
На всём промежутке \((-1; +\infty)\) функция непрерывна.
4. Знаки функции
— \(y = 0\) при \(x = 0\),
— \(y > 0\) при всех остальных допустимых \(x\),
— Отрицательных значений нет.
График касается оси абсцисс в нуле и лежит выше неё везде, где определён.
5. Монотонность
— Убывает на \((-1; 0]\),
— Возрастает на \([0; 2]\).
После \(x = 2\) монотонность не указана, но поскольку наибольшее значение равно 4 и достигается, вероятно, в точке \(x = 2\), то при \(x > 2\) функция либо постоянна, либо снова убывает. Однако по условию \(y_{\text{наиб}} = 4\), и других данных нет, поэтому предполагаем, что максимум достигается в \(x = 2\).
Характерный пример — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в \(x = 0\), но ограниченная слева: \(f(x) = x^2\) при \(x > -1\), однако тогда максимума не было бы. Более правдоподобен кусочный график: убывает от \(x = -1\) до \(x = 0\), затем возрастает до \(x = 2\) (где достигает 4), и далее, возможно, убывает или остаётся постоянной. Но поскольку область не ограничена справа, а максимум конечен, скорее всего, после \(x = 2\) функция убывает, но это не указано. Тем не менее, по данным условия — всё согласуется с наличием минимума в 0 и максимума в 4.
в) Анализ функции
1. Область определения: \([-5; 2]\)
Функция задана только на замкнутом отрезке от \(-5\) до \(2\), включая оба конца.
2. Экстремумы
Наименьшее значение равно \(-4\), наибольшее — 0. Оба достигаются, что гарантировано теоремой Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке.
3. Непрерывность
Функция непрерывна на всём отрезке.
4. Знаки функции
— \(y = 0\) при \(x = 0\),
— \(y < 0\) при всех остальных \(x\) в области,
— Положительных значений нет.
График проходит через начало координат и лежит ниже оси абсцисс везде, кроме этой точки.
5. Монотонность
— Возрастает на \([-1; 0]\),
— Убывает на \([0; 2]\).
Ничего не сказано о поведении на \([-5; -1)\), но поскольку наименьшее значение равно \(-4\), оно, вероятно, достигается в левом конце \(x = -5\) или в какой-то внутренней точке. При этом на \([-1; 0]\) функция растёт до 0, а затем убывает.
Типичный пример — «перевёрнутая» горка с максимумом в нуле и минимумом на краю отрезка.
г) Анализ функции
1. Область определения: \((-2; 5)\)
Функция определена на открытом интервале — ни \(x = -2\), ни \(x = 5\) не входят в область.
2. Экстремумы
Наименьшее значение равно 0, наибольшего значения не существует. Это означает, что функция ограничена снизу, но неограниченно растёт при приближении к одному из концов интервала (скорее всего, к \(x = 5\)).
3. Непрерывность
Функция непрерывна на всём интервале.
4. Знаки функции
— \(y = 0\) при \(x = 0\),
— \(y > 0\) при всех остальных допустимых \(x\),
— Отрицательных значений нет.
График касается оси абсцисс в нуле и лежит выше неё везде, где определён.
5. Монотонность
— Убывает на \((-2; 0]\),
— Возрастает на \([0; 5)\).
Точка \(x = 0\) является точкой минимума.
Поскольку интервал открыт справа, функция может неограниченно возрастать при \(x \to 5^{-}\), что объясняет отсутствие наибольшего значения. Пример: \(f(x) = \frac{1}{5 — x} + x^2 — 1\), но проще — парабола \(f(x) = x^2\), ограниченная интервалом \((-2; 5)\). Однако для \(f(x) = x^2\) на этом интервале наибольшее значение стремилось бы к 25, но не достигалось бы, что согласуется с условием.
