ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.35 Мордкович — Подробные Ответы

Задайте аналитически кусочную функцию по её графику, представленному: а) На рис. 53; 6) на рис. 54; в) на рис. 55; г) на рис. 56.

а) \( y =
\begin{cases}
x, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases} \)

б) \( y =
\begin{cases}
2x, & x < 1 \\
2, & x \geq 1
\end{cases} \)

в) \( y =
\begin{cases}
2, & x < -2 \\
-x, & x \geq -2
\end{cases} \)

г) \( y =
\begin{cases}
2, & x < 2 \\
x, & x \geq 2
\end{cases} \)

а) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
x, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]

Эта функция совпадает с модулем: \(y = |x|\).
Область определения — вся числовая прямая.
При \(x \geq 0\) график представляет собой луч, идущий под углом 45 градусов вверх направо.
При \(x < 0\) — луч, идущий под углом 45 градусов вверх налево.
В точке \(x = 0\) обе ветви соединяются, образуя «угол» с вершиной в начале координат.
Функция непрерывна на всей области определения.
Она убывает на \((-\infty; 0]\) и возрастает на \([0; +\infty)\).
Наименьшее значение равно 0 и достигается при \(x = 0\).
Функция не принимает отрицательных значений.

б) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
2x, & x < 1 \\
2, & x \geq 1
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа.
При \(x < 1\) график — прямая линия с угловым коэффициентом 2, проходящая через начало координат.
При \(x \geq 1\) график — горизонтальная прямая на уровне \(y = 2\).
В точке \(x = 1\) значение функции слева: \(2 \cdot 1 = 2\), значение справа: \(2\).
Следовательно, функция непрерывна в этой точке.
На промежутке \((-\infty; 1)\) функция возрастает, на \([1; +\infty)\) — постоянна.
Наименьшего значения нет, так как при \(x \to -\infty\) значение функции стремится к \(-\infty\).
Наибольшего значения также нет, но функция ограничена сверху числом 2 на правой части.

в) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
2, & x < -2 \\
-x, & x \geq -2
\end{cases}
\]

Область определения — вся числовая прямая.
При \(x < -2\) график — горизонтальная прямая \(y = 2\).
При \(x \geq -2\) график — прямая \(y = -x\), которая проходит через точки \((-2; 2)\) и \((0; 0)\).
В точке \(x = -2\) предел слева равен 2, значение функции справа: \(-(-2) = 2\).
Функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; -2)\) функция постоянна, на \([-2; +\infty)\) — убывает.
Наибольшее значение равно 2 и достигается на всём промежутке \(x \leq -2\).
Наименьшего значения нет, так как при \(x \to +\infty\) значение функции стремится к \(-\infty\).

г) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
2, & x < 2 \\
x, & x \geq 2
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа.
При \(x < 2\) график — горизонтальная прямая \(y = 2\).
При \(x \geq 2\) график — прямая \(y = x\), проходящая через точку \((2; 2)\).
В точке \(x = 2\) предел слева равен 2, значение функции: \(2\).
Функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; 2)\) функция постоянна, на \([2; +\infty)\) — возрастает.
Наименьшее значение на правой части начинается с 2, но глобального минимума нет, так как левая часть также равна 2.
Наибольшего значения нет, поскольку при \(x \to +\infty\) функция неограниченно возрастает.

Общий вывод

Все четыре функции являются кусочными и состоят из простых линейных участков.
Точки раздела (\(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -2\), \(x = 2\)) являются местами, где меняется правило задания функции.
Несмотря на изменение формулы, все функции остаются непрерывными в точках стыка, что обеспечивает целостность их графиков.
Такие функции часто используются для моделирования процессов, в которых закон изменения величины меняется при достижении определённого порога.