ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.36 Мордкович — Подробные Ответы

Задайте аналитически кусочную функцию по её графику, представленному: а) На рис. 57; 6) на рис. 58; в) на рис. 59; г) на рис. 60.

а) y =
{ -x², x ≤ 0
-x, x > 0

б) y =
{ x², -1 < x < 2
4, x ≥ 2

в) y =
{ -1, -5 ≤ x ≤ -1
-x², -1 < x ≤ 2

г) y =
{ x², -2 < x < 1
x, 1 ≤ x < 5

а) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
-x^2, & x \leq 0 \\
-x, & x > 0
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа.
При \(x \leq 0\) график представляет собой левую половину параболы \(y = -x^2\), ветви которой направлены вниз. Эта часть проходит через точки \((0; 0)\), \((-1; -1)\), \((-2; -4)\) и так далее.
При \(x > 0\) график — луч прямой \(y = -x\), идущий вниз направо, проходящий через точки \((1; -1)\), \((2; -2)\) и т.д.
В точке \(x = 0\) обе части дают значение \(y = 0\), поэтому функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; 0]\) функция возрастает (поскольку парабола \(y = -x^2\) возрастает при \(x \leq 0\)), а на \((0; +\infty)\) — убывает (прямая с отрицательным угловым коэффициентом).
Наибольшее значение равно 0 и достигается при \(x = 0\). Наименьшего значения нет, так как при \(x \to +\infty\) или \(x \to -\infty\) функция стремится к \(-\infty\).

б) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
x^2, & -1 < x < 2 \\
4, & x \geq 2
\end{cases}
\]

Область определения — интервал \((-1; +\infty)\).
При \(-1 < x < 2\) график — дуга параболы \(y = x^2\), проходящая от точки, близкой к \((-1; 1)\) (не включая её), через вершину \((0; 0)\), до точки, близкой к \((2; 4)\) (также не включая её).
При \(x \geq 2\) график — горизонтальная прямая \(y = 4\).
В точке \(x = 2\) предел слева: \(\lim_{x \to 2^-} x^2 = 4\), значение функции справа: \(f(2) = 4\), поэтому функция непрерывна.
На промежутке \((-1; 0]\) функция убывает, на \([0; 2)\) — возрастает, на \([2; +\infty)\) — постоянна.
Наименьшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет, но функция ограничена сверху числом 4 на правой части, и это значение достигается.

в) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
-1, & -5 \leq x \leq -1 \\
-x^2, & -1 < x \leq 2
\end{cases}
\]

Область определения — отрезок \([-5; 2]\).
При \(-5 \leq x \leq -1\) график — горизонтальный отрезок на уровне \(y = -1\).
При \(-1 < x \leq 2\) график — часть параболы \(y = -x^2\), ветви которой направлены вниз, проходящая от точки, близкой к \((-1; -1)\) (не включая её), через \((0; 0)\), до \((2; -4)\).
В точке \(x = -1\) значение слева: \(f(-1) = -1\), предел справа: \(\lim_{x \to -1^+} (-x^2) = -1\), поэтому функция непрерывна.
На промежутке \([-5; -1]\) функция постоянна, на \([-1; 0]\) — возрастает, на \([0; 2]\) — убывает.
Наибольшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наименьшее значение равно \(-4\) (в точке \(x = 2\)).

г) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
x^2, & -2 < x < 1 \\
x, & 1 \leq x < 5
\end{cases}
\]

Область определения — интервал \((-2; 5)\).
При \(-2 < x < 1\) график — дуга параболы \(y = x^2\), проходящая от точки, близкой к \((-2; 4)\) (не включая её), через вершину \((0; 0)\), до точки, близкой к \((1; 1)\) (не включая её).
При \(1 \leq x < 5\) график — отрезок прямой \(y = x\), проходящий от \((1; 1)\) до точки, близкой к \((5; 5)\) (не включая её).
В точке \(x = 1\) предел слева: \(\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1\), значение функции справа: \(f(1) = 1\), поэтому функция непрерывна.
На промежутке \((-2; 0]\) функция убывает, на \([0; 1)\) — возрастает, на \([1; 5)\) — возрастает (прямая с положительным угловым коэффициентом).
Наименьшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет, так как при \(x \to 5^-\) функция стремится к 5, но не достигает его.