ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.37 Мордкович — Подробные Ответы

а) y =
{ x², x < 0
x, 0 ≤ x < 2
2, x ≥ 2

б) y =
{ -2, -4 ≤ x < -2
x, -2 ≤ x ≤ 1
3x — 2, 1 < x ≤ 2

в) y =
{ -x, x < 0
3x, 0 ≤ x ≤ 1
3, x > 1

г) y =
{ 3, -5 < x < -1
-3x, -1 ≤ x ≤ 0
x², 0 < x < 2

а) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
x^2, & x < 0 \\
x, & 0 \leq x < 2 \\
2, & x \geq 2
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа.
При \(x < 0\) график представляет собой левую часть параболы \(y = x^2\), которая убывает при приближении к нулю слева.
При \(0 \leq x < 2\) график — отрезок прямой \(y = x\), проходящий через начало координат и точку \((2; 2)\) (не включая последнюю).
При \(x \geq 2\) график — горизонтальная прямая \(y = 2\).
В точке \(x = 0\): предел слева равен \(0\), значение функции справа также \(0\) — функция непрерывна.
В точке \(x = 2\): предел слева равен \(2\), значение функции справа равно \(2\) — функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; 0)\) функция убывает, на \([0; 2)\) — возрастает, на \([2; +\infty)\) — постоянна.
Наименьшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет, но функция ограничена сверху числом 2, и это значение достигается.

б) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
-2, & -4 \leq x < -2 \\
x, & -2 \leq x \leq 1 \\
3x — 2, & 1 < x \leq 2
\end{cases}
\]

Область определения — отрезок \([-4; 2]\).
При \(-4 \leq x < -2\) график — горизонтальный отрезок на уровне \(y = -2\).
При \(-2 \leq x \leq 1\) график — отрезок прямой \(y = x\), проходящий от точки \((-2; -2)\) до \((1; 1)\).
При \(1 < x \leq 2\) график — отрезок прямой \(y = 3x — 2\), проходящий от точки, близкой к \((1; 1)\) (не включая её), до \((2; 4)\).
В точке \(x = -2\): значение слева и справа равно \(-2\) — функция непрерывна.
В точке \(x = 1\): значение слева \(f(1) = 1\), предел справа: \(\lim_{x \to 1^+} (3x — 2) = 1\) — функция непрерывна.
На промежутке \([-4; -2)\) функция постоянна, на \([-2; 1]\) — возрастает, на \((1; 2]\) — возрастает (с большим угловым коэффициентом).
Наименьшее значение равно \(-2\) (на левом участке), наибольшее значение равно \(4\) (в точке \(x = 2\)).

в) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
-x, & x < 0 \\
3x, & 0 \leq x \leq 1 \\
3, & x > 1
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа.
При \(x < 0\) график — луч прямой \(y = -x\), идущий вверх налево, проходящий через точки \((-1; 1)\), \((-2; 2)\) и т.д.
При \(0 \leq x \leq 1\) график — отрезок прямой \(y = 3x\), проходящий от \((0; 0)\) до \((1; 3)\).
При \(x > 1\) график — горизонтальная прямая \(y = 3\).
В точке \(x = 0\): предел слева равен \(0\), значение функции справа равно \(0\) — функция непрерывна.
В точке \(x = 1\): значение слева \(f(1) = 3\), предел справа равен \(3\) — функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; 0)\) функция убывает, на \([0; 1]\) — возрастает, на \((1; +\infty)\) — постоянна.
Наименьшего значения нет (при \(x \to -\infty\), \(y \to +\infty\), но при \(x \to 0^-\), \(y \to 0\); однако при \(x < 0\), \(y > 0\), а в нуле \(y = 0\)), поэтому наименьшее значение равно 0. Наибольшее значение равно 3, достигается на промежутке \(x \geq 1\).

г) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
3, & -5 < x < -1 \\
-3x, & -1 \leq x \leq 0 \\
x^2, & 0 < x < 2
\end{cases}
\]

Область определения — интервал \((-5; 2)\).
При \(-5 < x < -1\) график — горизонтальная прямая \(y = 3\).
При \(-1 \leq x \leq 0\) график — отрезок прямой \(y = -3x\), проходящий от точки \((-1; 3)\) до \((0; 0)\).
При \(0 < x < 2\) график — дуга параболы \(y = x^2\), проходящая от точки, близкой к \((0; 0)\) (не включая её), до точки, близкой к \((2; 4)\) (не включая её).
В точке \(x = -1\): предел слева равен \(3\), значение функции справа: \(-3 \cdot (-1) = 3\) — функция непрерывна.
В точке \(x = 0\): значение слева \(f(0) = 0\), предел справа: \(\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0\) — функция непрерывна.
На промежутке \((-5; -1)\) функция постоянна, на \([-1; 0]\) — убывает, на \((0; 2)\) — возрастает.
Наименьшее значение стремится к 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет, так как при \(x \to 2^-\) функция стремится к 4, но не достигает его.