ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.38 Мордкович — Подробные Ответы

а) y =
{ x², x < 1
x, x ≥ 1

б) y =
{ -x, -4 < x < -1
x², -1 ≤ x < 1
2x, x ≥ 1

в) y =
{ -2x, x < 0
3x, 0 ≤ x < 1
3x, x > 1

г) y =
{ x², x < -1
x², -1 < x < 2
x², x > 2

а) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
x^2, & x < 1 \\
x, & x \geq 1
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа.
При \(x < 1\) график представляет собой часть параболы \(y = x^2\), проходящую через точки \((0; 0)\), \((-1; 1)\), \((0{,}5; 0{,}25)\) и приближающуюся к точке \((1; 1)\) слева.
При \(x \geq 1\) график — луч прямой \(y = x\), начинающийся в точке \((1; 1)\) и уходящий вправо вверх.
В точке \(x = 1\) предел слева: \(\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1\), значение функции справа: \(f(1) = 1\). Следовательно, функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; 0]\) функция убывает, на \([0; 1)\) — возрастает, на \([1; +\infty)\) — возрастает.
Наименьшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет.

б) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
-x, & -4 < x < -1 \\
x^2, & -1 \leq x < 1 \\
2x, & x \geq 1
\end{cases}
\]

Область определения — интервал \((-4; +\infty)\).
При \(-4 < x < -1\) график — отрезок прямой \(y = -x\), идущий от точки, близкой к \((-4; 4)\), до точки, близкой к \((-1; 1)\) (обе не включены).
При \(-1 \leq x < 1\) график — дуга параболы \(y = x^2\), проходящая через \((-1; 1)\), \((0; 0)\) и приближающаяся к \((1; 1)\) справа.
При \(x \geq 1\) график — луч прямой \(y = 2x\), начинающийся в точке \((1; 2)\).
В точке \(x = -1\): предел слева \(\lim_{x \to -1^-} (-x) = 1\), значение функции справа: \(f(-1) = (-1)^2 = 1\) — функция непрерывна.
В точке \(x = 1\): предел слева \(\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1\), значение функции справа: \(f(1) = 2 \cdot 1 = 2\). Поскольку \(1 \ne 2\), в точке \(x = 1\) имеется разрыв.
На промежутке \((-4; -1)\) функция убывает, на \([-1; 0]\) — убывает, на \([0; 1)\) — возрастает, на \([1; +\infty)\) — возрастает.
Наименьшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет.

в) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
-2x, & x < 0 \\
3x, & 0 \leq x < 1 \\
3x, & x > 1
\end{cases}
\]

Область определения — все действительные числа, за исключением, возможно, точки \(x = 1\), но поскольку обе последние ветви совпадают по формуле, функция фактически определена и в этой точке (хотя формально она не указана).
При \(x < 0\) график — луч прямой \(y = -2x\), идущий вверх налево (например, \((-1; 2)\), \((-2; 4)\)).
При \(x \geq 0\), \(x \ne 1\), график — прямая \(y = 3x\).
В точке \(x = 0\): предел слева \(\lim_{x \to 0^-} (-2x) = 0\), значение функции справа: \(f(0) = 0\) — функция непрерывна.
В точке \(x = 1\): предел слева и справа равен \(3\), и хотя формула не задаёт значение явно, логично считать \(f(1) = 3\), тогда функция непрерывна.
На промежутке \((-\infty; 0)\) функция убывает, на \([0; +\infty)\) — возрастает.
Наименьшего значения нет (при \(x \to -\infty\), \(y \to +\infty\); при \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\); минимум в нуле: \(y = 0\)). Наименьшее значение равно 0 (в точке \(x = 0\)), наибольшего значения нет.

г) Функция задана следующим образом:

\[
y =
\begin{cases}
x^2, & x < -1 \\
x^2, & -1 < x < 2 \\
x^2, & x > 2
\end{cases}
\]

Фактически, это одна и та же функция \(y = x^2\), заданная на всей числовой прямой, кроме точек \(x = -1\) и \(x = 2\), где она не определена.
Область определения — \((-\infty; -1) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)\).
График — парабола \(y = x^2\) с двумя «выколотыми» точками: \((-1; 1)\) и \((2; 4)\).
Во всех остальных точках функция совпадает с \(x^2\).
Функция непрерывна на своей области определения, но имеет разрывы в точках \(x = -1\) и \(x = 2\) (устраняемые, так как пределы существуют).
На промежутке \((-\infty; 0)\) функция убывает, на \((0; +\infty)\) — возрастает.
Наименьшее значение стремится к 0 (в точке \(x = 0\), которая входит в область определения), наибольшего значения нет.