ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.39 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = система -x², если -2 ≤ х ≤ 0; 0, если 0 < х ≤ 3. а) Вычислите f(-2), f(О), f(2), f(-1), f(3); б) постройте график функции \(у = f(x)\); в) опишите свойства функции у = f(x) с помощью построенного графика.

f(x) =
{ -x², -2 ≤ x ≤ 0
0, 0 < x ≤ 3

а) f(-2) = -(-2)² = -4.
f(0) = 0² = 0.
f(2) = 0.
f(-1) = -(-1)² = -1.
f(3) = 0.

б) y = f(x)

в) 1. Область определения: [-2; 3]
2. y_наим = -4, y_наиб = 0.
3. Функция непрерывная.
4. y = 0 при x [0; 3], y > 0 — нет, y < 0 при x [-2; 0).
5. Функция возрастает при x [-2; 0], убывает при x — нет.

Условие:
Дана функция \(y = f(x)\), где \(f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ 0, & \text{если } 0 < x \le 3 \end{cases}\).
а) Вычислите \(f(-2), f(0), f(2), f(-1), f(3)\);
б) постройте график функции \(y = f(x)\);
в) опишите свойства функции \(y = f(x)\) с помощью построенного графика.

Решение:
а) Вычисление значений функции:

Для вычисления значений функции используем соответствующую часть определения функции в зависимости от значения \(x\).

1. Вычислим \(f(-2)\):
Поскольку \( -2 \le -2 \le 0 \), используем первое правило: \( f(x) = -x^2 \).
\( f(-2) = -(-2)^2 \)
\( f(-2) = -(4) \)
\( f(-2) = -4 \)

2. Вычислим \(f(0)\):
Поскольку \( -2 \le 0 \le 0 \), используем первое правило: \( f(x) = -x^2 \).
\( f(0) = -(0)^2 \)
\( f(0) = 0 \)

3. Вычислим \(f(2)\):
Поскольку \( 0 < 2 \le 3 \), используем второе правило: \( f(x) = 0 \).
\( f(2) = 0 \)

4. Вычислим \(f(-1)\):
Поскольку \( -2 \le -1 \le 0 \), используем первое правило: \( f(x) = -x^2 \).
\( f(-1) = -(-1)^2 \)
\( f(-1) = -(1) \)
\( f(-1) = -1 \)

5. Вычислим \(f(3)\):
Поскольку \( 0 < 3 \le 3 \), используем второе правило: \( f(x) = 0 \).
\( f(3) = 0 \)

б) Построение графика функции \(y = f(x)\):

График функции состоит из двух частей:

1. Для \( x \in [-2, 0] \): \( y = -x^2 \). Это часть параболы, ветви которой направлены вниз.
При \( x = -2 \), \( y = -(-2)^2 = -4 \). Точка \( (-2, -4) \).
При \( x = -1 \), \( y = -(-1)^2 = -1 \). Точка \( (-1, -1) \).
При \( x = 0 \), \( y = -(0)^2 = 0 \). Точка \( (0, 0) \).
Эта часть графика представляет собой кривую, соединяющую точки \( (-2, -4) \), \( (-1, -1) \) и \( (0, 0) \). Все точки включены.

2. Для \( x \in (0, 3] \): \( y = 0 \). Это горизонтальный отрезок на оси абсцисс.
При \( x = 0 \), значение функции определено как \( 0 \) из первой части. Для этой части интервал начинается строго после \( 0 \).
При \( x = 3 \), \( y = 0 \). Точка \( (3, 0) \).
Эта часть графика представляет собой отрезок прямой, идущий от точки \( (0, 0) \) (включительно, так как \( f(0)=0 \)) до точки \( (3, 0) \) (включительно).

Описание графика: График начинается в точке \( (-2, -4) \), поднимается по параболической кривой до точки \( (0, 0) \), а затем продолжается как горизонтальный отрезок по оси \( Ox \) до точки \( (3, 0) \).

в) Описание свойств функции \(y = f(x)\) с помощью построенного графика:

1. Область определения функции \( D(f) \):
Функция определена для \( x \) от \( -2 \) до \( 0 \) включительно, и от \( 0 \) (не включая) до \( 3 \) включительно. Объединяя эти интервалы, получаем:
\( D(f) = [-2, 3] \)

2. Область значений функции \( E(f) \):
Минимальное значение функции \( -4 \) (при \( x = -2 \)). Максимальное значение функции \( 0 \) (при \( x = 0 \) и для \( x \in (0, 3] \)).
\( E(f) = [-4, 0] \)

3. Нули функции:
Значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \).
\( f(x) = 0 \) при \( x = 0 \) и для всех \( x \in (0, 3] \).
Нули функции: \( x \in [0, 3] \)

4. Знакопостоянство функции:
\( f(x) < 0 \) при \( x \in [-2, 0) \).
\( f(x) = 0 \) при \( x \in [0, 3] \).

5. Монотонность функции:
На интервале \( [-2, 0] \) функция возрастает от \( -4 \) до \( 0 \).
На интервале \( (0, 3] \) функция постоянна и равна \( 0 \).

6. Экстремумы функции:
Глобальный минимум: \( f(-2) = -4 \).
Глобальный максимум: \( f(0) = 0 \).
Все точки на интервале \( (0, 3] \) являются точками локального максимума и минимума, так как функция на этом интервале постоянна.

7. Четность/Нечетность функции:
Область определения \( [-2, 3] \) не симметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ:
\( f(-2) = -4 \), \( f(0) = 0 \), \( f(2) = 0 \), \( f(-1) = -1 \), \( f(3) = 0 \)