ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.4 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функцияу = f(x), где f(x) = х2. Найдите: а) f(-6), -f(6), f(0), f(4*\(\frac{1}{3}\)); б) f(3a), f\(\frac{-1а}{3}\)), -f(a), 2f(a); в) f(x + 2), f(5 — х), f(2x + 3), f(3x — 1); г) f(x) — 1, f(-2x) + 1, 2f(x) + 3, -f(-x) + 3.

\(y = f(x),\quad f(x) = x^2\)

а) \(f(-6) = (-6)^2 = 36,\)
\(-f(6) = -6^2 = -36,\)
\(f(0) = 0^2 = 0,\)
\(f\!\left(4\frac{1}{3}\right) = \left(4\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \frac{169}{9} = 18\frac{7}{9}.\)

б) \(f(3a) = (3a)^2 = 9a^2,\)
\(f\!\left(-\frac{1}{3}a\right) = \left(-\frac{1}{3}a\right)^2 = \frac{1}{9}a^2,\)
\(-f(a) = -a^2,\)
\(2f(a) = 2a^2.\)

в) \(f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4,\)
\(f(5 — x) = (5 — x)^2 = 25 — 10x + x^2,\)
\(f(2x + 3) = (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9,\)
\(f(3x — 1) = (3x — 1)^2 = 9x^2 — 6x + 1.\)

г) \(f(x) — 1 = x^2 — 1,\)
\(f(-2x) + 1 = (-2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1,\)
\(2f(x) + 3 = 2x^2 + 3,\)
\(-f(-x) + 3 = -(-x)^2 + 3 = -x^2 + 3.\)

а) Найдём значения функции в конкретных числовых точках

— \(f(-6) = (-6)^2 = 36\)
Квадрат отрицательного числа — положительное число. Это демонстрирует чётность функции: \(f(-6) = f(6)\).

— \(-f(6) = -6^2 = -36\)
Здесь сначала вычисляется \(f(6) = 6^2 = 36\), затем ставится минус перед результатом. Обратите внимание: запись \(-6^2\) в математике означает \(-(6^2)\), а не \((-6)^2\). Это важное правило приоритета операций.

— \(f(0) = 0^2 = 0\)
Вершина параболы — минимальное значение функции.

— \(f\!\left(4\frac{1}{3}\right) = \left(4\frac{1}{3}\right)^2\)
Сначала переводим смешанное число в неправильную дробь:
\[
4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}.
\]

Затем возводим в квадрат:
\[
\left(\frac{13}{3}\right)^2 = \frac{169}{9} = 18\frac{7}{9}.
\]

Это показывает, как работать с дробными аргументами.

б) Работа с параметром \(a\)

— \(f(3a) = (3a)^2 = 9a^2\)
При подстановке \(3a\) в функцию, возводим всё выражение в квадрат: \((3a)^2 = 9a^2\).

— \(f\!\left(-\frac{1}{3}a\right) = \left(-\frac{1}{3}a\right)^2 = \frac{1}{9}a^2\)
Минус исчезает при возведении в квадрат, остаётся только квадрат коэффициента.

— \(-f(a) = -a^2\)
Это не то же самое, что \(f(-a)\)! Здесь мы берём значение функции и меняем его знак. Результат — отрицательное число (если \(a \ne 0\)).

— \(2f(a) = 2a^2\)
Умножение значения функции на 2 — это вертикальное растяжение графика в 2 раза.

Эти примеры подчёркивают разницу между преобразованием аргумента и преобразованием значения.

в) Подстановка линейных выражений

Теперь аргумент — не просто число или кратное \(a\), а линейное выражение. Применяем формулы квадрата суммы и разности:

— \(f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
Использована формула \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

— \(f(5 — x) = (5 — x)^2 = 25 — 10x + x^2\)
Аналогично: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).

— \(f(2x + 3) = (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\)
Здесь \(a = 2x\), \(b = 3\):
\((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\).

— \(f(3x — 1) = (3x — 1)^2 = 9x^2 — 6x + 1\)
Стандартное применение формулы квадрата разности.

Все эти выражения — квадратичные функции, но с разными коэффициентами и сдвигами.

г) Комбинированные выражения с внешними операциями

Здесь сочетаются подстановка и арифметические действия над значением функции:

— \(f(x) — 1 = x^2 — 1\)
График параболы сдвинут вниз на 1 единицу.

— \(f(-2x) + 1 = (-2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1\)
Сначала подставляем \(-2x\): \((-2x)^2 = 4x^2\), затем прибавляем 1.
Минус исчезает из-за квадрата.

— \(2f(x) + 3 = 2x^2 + 3\)
Вертикальное растяжение в 2 раза и сдвиг вверх на 3.

— \(-f(-x) + 3 = -(-x)^2 + 3 = -x^2 + 3\)
Поскольку \(f(-x) = (-x)^2 = x^2\), то \(-f(-x) = -x^2\).
Результат — парабола, ветви которой направлены вниз, сдвинутая вверх на 3.