ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.40 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = система x², если -2 ≤ х ≤ 0; 4x, если 0 < х ≤ 1; 4, если 1 < x < 3. а) Вычислите f(-1), f(2), f(1), f(1,5), f(-2); б) постройте график функции \(у = f(x)\); в) опишите свойства функции у = f(x) с помощью построенного графика.

а)
\( f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ 4x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ 4, & \text{если } 1 < x < 3 \end{cases} \)

Для \( f(-1) \):
\( -2 \le -1 \le 0 \)
\( f(-1) = (-1)^2 \)
\( f(-1) = 1 \)

Для \( f(2) \):
\( 1 < 2 < 3 \)
\( f(2) = 4 \)

Для \( f(1) \):
\( 0 < 1 \le 1 \)
\( f(1) = 4 \cdot 1 \)
\( f(1) = 4 \)

Для \( f(1,5) \):
\( 1 < 1,5 < 3 \)
\( f(1,5) = 4 \)

Для \( f(-2) \):
\( -2 \le -2 \le 0 \)
\( f(-2) = (-2)^2 \)
\( f(-2) = 4 \)
Ответ: f(-1)=1, f(2)=4, f(1)=4, f(1,5)=4, f(-2)=4

б)
График функции \( у = f(x) \) состоит из трех частей:
1. При \( -2 \le x \le 0 \):
\( y = x^2 \)

Это часть параболы, вершина которой находится в точке \( (0, 0) \). Участок начинается в точке \( (-2, 4) \) и заканчивается в точке \( (0, 0) \). Обе концевые точки включены в график.

2. При \( 0 < x \le 1 \):
\( y = 4x \)
Это отрезок прямой, проходящий через начало координат. Участок начинается в точке \( (0, 0) \) (не включена, но совпадает с конечной точкой предыдущего участк

а) и заканчивается в точке \( (1, 4) \) (включена).

3. При \( 1 < x < 3 \):
\( y = 4 \)
Это горизонтальный отрезок прямой. Участок начинается в точке \( (1, 4) \) (не включена, но совпадает с конечной точкой предыдущего участк

а) и заканчивается в точке \( (3, 4) \) (не включена).
Ответ: График функции описан выше.

в)
Свойства функции \( у = f(x) \):
1. Область определения:
\( D(f) = [-2, 3) \)

2. Область значений:
\( E(f) = [0, 4] \)

3. Непрерывность:
Функция непрерывна на всей своей области определения \( [-2, 3) \).

4. Монотонность:
Функция убывает на промежутке \( [-2, 0] \).
Функция возрастает на промежутке \( (0, 1] \).
Функция постоянна на промежутке \( (1, 3) \).

5. Экстремумы:
Наименьшее значение функции: \( y_{min} = 0 \) достигается при \( x = 0 \).
Наибольшее значение функции: \( y_{max} = 4 \) достигается при \( x = -2 \) и на промежутке \( [1, 3) \).

6. Ограниченность:
Функция ограничена снизу числом 0 и сверху числом 4.

7. Четность/Нечетность:
Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
Ответ: Свойства функции описаны выше.

Условие: Дана функция \(у = f(x), где f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ 4x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ 4, & \text{если } 1 < x < 3 \end{cases}\).

а) Вычислите f(-1), f(2), f(1), f(1,5), f(-2);

б) постройте график функции \(у = f(x)\);

в) опишите свойства функции \(у = f(x) с помощью построенного графика.\)

Решение:
а) Вычислим значения функции для заданных аргументов:

Для \( f(-1) \):
Аргумент \( x = -1 \) находится в интервале \( -2 \le x \le 0 \).
Используем формулу \( f(x) = x^2 \).
\( f(-1) = (-1)^2 \)
\( f(-1) = 1 \)

Для \( f(2) \):
Аргумент \( x = 2 \) находится в интервале \( 1 < x < 3 \).
Используем формулу \( f(x) = 4 \).
\( f(2) = 4 \)

Для \( f(1) \):
Аргумент \( x = 1 \) находится в интервале \( 0 < x \le 1 \).
Используем формулу \( f(x) = 4x \).
\( f(1) = 4 \cdot 1 \)
\( f(1) = 4 \)

Для \( f(1,5) \):
Аргумент \( x = 1,5 \) находится в интервале \( 1 < x < 3 \).
Используем формулу \( f(x) = 4 \).
\( f(1,5) = 4 \)

Для \( f(-2) \):
Аргумент \( x = -2 \) находится в интервале \( -2 \le x \le 0 \).
Используем формулу \( f(x) = x^2 \).
\( f(-2) = (-2)^2 \)
\( f(-2) = 4 \)

б) Построим график функции \(у = f(x)\).

График функции состоит из трех частей:
1. На интервале \( [-2, 0] \) функция задана формулой \( y = x^2 \). Это часть параболы.
При \( x = -2 \), \( y = (-2)^2 = 4 \). Точка \( (-2, 4) \).
При \( x = 0 \), \( y = (0)^2 = 0 \). Точка \( (0, 0) \).
График на этом участке представляет собой дугу параболы, соединяющую точки \( (-2, 4) \) и \( (0, 0) \), включая обе конечные точки.

2. На интервале \( (0, 1] \) функция задана формулой \( y = 4x \). Это отрезок прямой.
При \( x = 0 \), \( y = 4 \cdot 0 = 0 \). Точка \( (0, 0) \). (Начало интервала не включено, но точка совпадает с концом предыдущего интервала, обеспечивая непрерывность в \( x=0 \)).
При \( x = 1 \), \( y = 4 \cdot 1 = 4 \). Точка \( (1, 4) \).
График на этом участке представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки \( (0, 0) \) и \( (1, 4) \), включая конечную точку \( (1, 4) \).

3. На интервале \( (1, 3) \) функция задана формулой \( y = 4 \). Это отрезок горизонтальной прямой.
При \( x = 1 \), \( y = 4 \). Точка \( (1, 4) \). (Начало интервала не включено, но точка совпадает с концом предыдущего интервала, обеспечивая непрерывность в \( x=1 \)).
При \( x = 3 \), \( y = 4 \). Точка \( (3, 4) \).
График на этом участке представляет собой отрезок горизонтальной прямой на уровне \( y=4 \), соединяющий точки \( (1, 4) \) и \( (3, 4) \), не включая обе конечные точки.

в) Опишем свойства функции \(у = f(x)\) с помощью построенного графика.

1. Область определения:
Функция определена на интервалах \( [-2, 0] \), \( (0, 1] \) и \( (1, 3) \). Объединяя эти интервалы, получаем \( D(f) = [-2, 3) \).

2. Область значений:
На интервале \( [-2, 0] \), \( y = x^2 \), значения \( y \) изменяются от \( 0 \) до \( 4 \).
На интервале \( (0, 1] \), \( y = 4x \), значения \( y \) изменяются от \( 0 \) (не включая) до \( 4 \) (включая).
На интервале \( (1, 3) \), \( y = 4 \), значение \( y \) равно \( 4 \).
Объединяя все значения, получаем \( E(f) = [0, 4] \).

3. Непрерывность:
Функция непрерывна на всей своей области определения \( [-2, 3) \).
В точке \( x=0 \)
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \), \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \), \( f(0) = 0 \).
В точке \( x=1 \)
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 4 \), \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \), \( f(1) = 4 \).

4. Монотонность:
На интервале \( [-2, 0] \) функция убывает (от \( 4 \) до \( 0 \)).
На интервале \( (0, 1] \) функция возрастает (от \( 0 \) до \( 4 \)).
На интервале \( (1, 3) \) функция постоянна (равна \( 4 \)).

5. Ограниченность:
Функция ограничена снизу значением \( 0 \) и сверху значением \( 4 \).
\( 0 \le f(x) \le 4 \) для всех \( x \in D(f) \).

6. Экстремумы:
Минимальное значение функции \( f_{min} = 0 \) достигается при \( x = 0 \).
Максимальное значение функции \( f_{max} = 4 \) достигается при \( x = -2 \), \( x = 1 \) и на интервале \( (1, 3) \).

7. Четность/Нечетность:
Область определения \( [-2, 3) \) не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ:
а)
\( f(-1) = 1 \), \( f(2) = 4 \), \( f(1) = 4 \), \( f(1,5) = 4 \), \( f(-2) = 4 \)
б) График функции состоит из трех частей: дуги параболы \( y = x^2 \) на \( [-2, 0] \), отрезка прямой \( y = 4x \) на \( (0, 1] \) и отрезка горизонтальной прямой \( y = 4 \) на \( (1, 3) \). График непрерывен на всей области определения.
в) Свойства функции:
— Область определения: \( D(f) = [-2, 3) \)
— Область значений: \( E(f) = [0, 4] \)
— Непрерывность: Функция непрерывна на \( [-2, 3) \).
— Монотонность: Убывает на \( [-2, 0] \), возрастает на \( (0, 1] \), постоянна на \( (1, 3) \).
— Ограниченность: Функция ограничена снизу \( 0 \) и сверху \( 4 \).
— Экстремумы: \( f_{min} = 0 \) при \( x = 0 \); \( f_{max} = 4 \) при \( x = -2 \), \( x = 1 \) и на \( (1, 3) \).
— Четность/Нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной.