ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.44 Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях b уравнение f(x) = b, где f(x) = система \(\frac{x+3}{2}\), если х ≤ -1; x², если -1 < х ≤ 2, а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет три корня; г) не имеет корней?

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x + 3}{2}, & x \leq -1 \\
x^2, & -1 < x \leq 2
\end{cases}
\]

а) один корень — при \(b < 0\) и \(b \in (1; 4]\).
б) два корня — при \(b = 0\) и \(b = 1\).
в) три корня — при \(b \in (0; 1)\).
г) нет корней — при \(b > 4\).

а) Один корень — при \(b < 0\) и \(b \in (1; 4]\)

— При \(b < 0\):
Параболическая часть \(x^2 \geq 0\), поэтому решений на \((-1; 2]\) нет.
На левой части решаем \(\frac{x + 3}{2} = b \Rightarrow x = 2b — 3\).
Поскольку \(b < 0\), то \(x = 2b — 3 < -3 < -1\), то есть решение принадлежит области \(x \leq -1\).
Следовательно, ровно один корень

— При \(b \in (1; 4]\):
На левой части: \(\frac{x + 3}{2} = b \Rightarrow x = 2b — 3\).
Но \(b > 1 \Rightarrow x > -1\), что выходит за область определения левой ветви — корня здесь нет.
На правой части: \(x^2 = b \Rightarrow x = \pm\sqrt{b}\).
Положительный корень \(x = \sqrt{b} \in (1; 2] \subset (-1; 2]\) — допустим.
Отрицательный корень \(x = -\sqrt{b}\): так как \(b > 1\), то \(\sqrt{b} > 1\), значит \(-\sqrt{b} < -1\), что не входит в \((-1; 2]\).
Следовательно, только один корень: \(x = \sqrt{b}\).

б) Два корня — при \(b = 0\) и \(b = 1\)

— При \(b = 0\):
Левая часть: \(\frac{x + 3}{2} = 0 \Rightarrow x = -3 \leq -1\) — корень существует.
Правая часть: \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \in (-1; 2]\) — второй корень.
Итого: два корня — \(x = -3\) и \(x = 0\).

— При \(b = 1\):
Левая часть: \(\frac{x + 3}{2} = 1 \Rightarrow x = -1\) — входит в область.
Правая часть: \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).
\(x = 1 \in (-1; 2]\) — допустим,
\(x = -1\) не входит в \((-1; 2]\) (так как интервал открыт слева), но уже учтён в левой части.
Таким образом, два корня: \(x = -1\) и \(x = 1\).

в) Три корня — при \(b \in (0; 1)\)

— На левой части: \(\frac{x + 3}{2} = b \Rightarrow x = 2b — 3\).
Так как \(0 < b < 1\), то \(-3 < x < -1\), то есть \(x \leq -1\) — корень существует.
— На правой части: \(x^2 = b \Rightarrow x = \pm\sqrt{b}\).
Поскольку \(0 < b < 1\), то \(0 < \sqrt{b} < 1\), значит:
— \(x = \sqrt{b} \in (0; 1) \subset (-1; 2]\),
— \(x = -\sqrt{b} \in (-1; 0) \subset (-1; 2]\).
— Все три корня различны и принадлежат своим областям.
Итого: три корня.

г) Нет корней — при \(b > 4\)

— На левой части: \(\frac{x + 3}{2} = b \Rightarrow x = 2b — 3 > 5 > -1\) — не входит в область.
— На правой части: \(x^2 = b \Rightarrow x = \pm\sqrt{b}\).
Так как \(b > 4\), то \(\sqrt{b} > 2\), значит \(x = \sqrt{b} > 2\) — не входит в \((-1; 2]\).
Также \(x = -\sqrt{b} < -2 < -1\) — не входит в \((-1; 2]\).
Следовательно, корней нет.