ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.5 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = \(-х^2\). Найдите: а) f(-10), -f(10) — 1, f(8) + 1, f(6) + f(8); б) f(-а), -f(а), f(5а), -5f(а); в) f(b — 1), \(f(b^2 — 1)\), \(f((b — 1)^2)\), \(f(b^2) — 1\); \(г) f(-x^3), f(2x^3), f(2x)^3), -2f(x^3)\).

\(y = f(x),\quad f(x) = -x^2\)

а) \(f(-10) = -(-10)^2 = -100,\)
\(-f(10) — 1 = -(-10^2) — 1 = -(-100) — 1 = 100 — 1 = 99,\)
\(f(8) + 1 = -8^2 + 1 = -64 + 1 = -63,\)
\(f(6) + f(8) = -6^2 + (-8^2) = -36 — 64 = -100.\)

б) \(f(-a) = -(-a)^2 = -a^2,\)
\(-f(a) = -(-a^2) = a^2,\)
\(f(5a) = -(5a)^2 = -25a^2,\)
\(-5f(a) = -5 \cdot (-a^2) = 5a^2.\)

в) \(f(b — 1) = -(b — 1)^2 = -b^2 + 2b — 1,\)
\(f(b^2 — 1) = -(b^2 — 1)^2 = -b^4 + 2b^2 — 1,\)
\(f((b — 1)^2) = -((b — 1)^2)^2 = -(b — 1)^4,\)
\(f(b^2) — 1 = -(b^2)^2 — 1 = -b^4 — 1.\)

г) \(f(-x^3) = -(-x^3)^2 = -x^6,\)
\(f(2x^3) = -(2x^3)^2 = -4x^6,\)
\(f((2x)^3) = -((2x)^3)^2 = -(8x^3)^2 = -64x^6,\)
\(-2f(x^3) = -2 \cdot (-(x^3)^2) = -2 \cdot (-x^6) = 2x^6.\)

а) Найдём значения функции в конкретных числовых точках

— \(f(-10) = -(-10)^2 = -100\)
Сначала вычисляем \((-10)^2 = 100\), затем ставим минус: \(-100\).
Это демонстрирует чётность: \(f(-10) = f(10) = -100\).

— \(-f(10) — 1 = -(-10^2) — 1 = -(-100) — 1 = 100 — 1 = 99\)
Здесь:
1. \(f(10) = -10^2 = -100\),
2. \(-f(10) = -(-100) = 100\),
3. Затем вычитаем 1 → 99.
Важно: запись \(-10^2\) означает \(-(10^2)\), а не \((-10)^2\).

— \(f(8) + 1 = -8^2 + 1 = -64 + 1 = -63\)
Стандартная подстановка: \(f(8) = -64\), затем прибавляем 1.

— \(f(6) + f(8) = -6^2 + (-8^2) = -36 — 64 = -100\)
Вычисляем каждое значение отдельно и складываем. Оба слагаемых отрицательны, поэтому сумма ещё более отрицательна.

Эти примеры показывают, как внешние операции (сложение, умножение на \(-1\)) взаимодействуют со значениями функции.

б) Работа с параметром \(a\)

— \(f(-a) = -(-a)^2 = -a^2\)
Минус внутри скобки исчезает при возведении в квадрат, остаётся \(-a^2\). Это подтверждает чётность функции.

— \(-f(a) = -(-a^2) = a^2\)
Здесь мы берём значение функции (\(-a^2\)) и меняем его знак. Результат — положительное число (если \(a \ne 0\)).
Это не то же самое, что \(f(-a)\)! Хотя в данном случае они совпадают численно, логически это разные операции.

— \(f(5a) = -(5a)^2 = -25a^2\)
Возводим всё выражение \(5a\) в квадрат, затем ставим минус.

— \(-5f(a) = -5 \cdot (-a^2) = 5a^2\)
Сначала находим \(f(a) = -a^2\), затем умножаем на \(-5\). Результат — положительное выражение.

Эти примеры иллюстрируют разницу между преобразованием аргумента (например, \(f(5a)\)) и преобразованием значения (например, \(-5f(a)\)).

в) Подстановка выражений с параметром \(b\)

Здесь важно различать, что именно возводится в квадрат:

— \(f(b — 1) = -(b — 1)^2 = -b^2 + 2b — 1\)
Сначала возводим \((b — 1)\) в квадрат, затем ставим минус. Раскрываем скобки по формуле квадрата разности.

— \(f(b^2 — 1) = -(b^2 — 1)^2 = -b^4 + 2b^2 — 1\)
Теперь аргумент — \(b^2 — 1\). Возводим это выражение в квадрат, получаем \(b^4 — 2b^2 + 1\), затем ставим минус.

— \(f((b — 1)^2) = -((b — 1)^2)^2 = -(b — 1)^4\)
Аргумент — уже квадрат \((b — 1)^2\). Возводим его в квадрат ещё раз → получаем четвёртую степень. Минус остаётся снаружи.

— \(f(b^2) — 1 = -(b^2)^2 — 1 = -b^4 — 1\)
Сначала вычисляем \(f(b^2) = -b^4\), затем вычитаем 1.

Эти примеры показывают, как вложенность выражений влияет на результат.

г) Работа с кубами и степенями

Обратите внимание на разницу между \(x^3\), \(2x^3\) и \((2x)^3\):

— \(f(-x^3) = -(-x^3)^2 = -x^6\)
Сначала возводим \(-x^3\) в квадрат: \((-x^3)^2 = x^6\), затем ставим минус.

— \(f(2x^3) = -(2x^3)^2 = -4x^6\)
Квадрат применяется к \(2x^3\): \((2x^3)^2 = 4x^6\), затем минус.

— \(f((2x)^3) = -((2x)^3)^2 = -(8x^3)^2 = -64x^6\)
Сначала вычисляем \((2x)^3 = 8x^3\), затем возводим в квадрат → \(64x^6\), и ставим минус.

— \(-2f(x^3) = -2 \cdot (-(x^3)^2) = -2 \cdot (-x^6) = 2x^6\)
Сначала находим \(f(x^3) = -(x^3)^2 = -x^6\), затем умножаем на \(-2\).