ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 46.6 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = \(x^2\). Найдите: а) f(-5), f(7) + 1, f(5) — 4, f(7) — f(5); б) f(2x + 5), f(2x) + 5, 2f(x) + 5, 2f(x + 5); в) f(x2), \(f(x^2 — 2), f(x^2) — 2, f((х — 2)^2)\); \(г) f(-x^3), 3f(x^3), f(3x^3), (-f(3x))^3\).

\(y = f(x),\quad f(x) = x^2\)

а) \(f(-5) = (-5)^2 = 25,\)
\(f(7) + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50,\)
\(f(5) — 4 = 5^2 — 4 = 25 — 4 = 21,\)
\(f(7) — f(5) = 7^2 — 5^2 = 49 — 25 = 24.\)

б) \(f(2x + 5) = (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25,\)
\(f(2x) + 5 = (2x)^2 + 5 = 4x^2 + 5,\)
\(2f(x) + 5 = 2x^2 + 5,\)
\(2f(x + 5) = 2(x + 5)^2 = 2(x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 20x + 50.\)

в) \(f(x^2) = (x^2)^2 = x^4,\)
\(f(x^2 — 2) = (x^2 — 2)^2 = x^4 — 4x^2 + 4,\)
\(f(x^2) — 2 = (x^2)^2 — 2 = x^4 — 2,\)
\(f((x — 2)^2) = ((x — 2)^2)^2 = (x — 2)^4.\)

г) \(f(-x^3) = (-x^3)^2 = x^6,\)
\(3f(x^3) = 3(x^3)^2 = 3x^6,\)
\(f(3x^3) = (3x^3)^2 = 9x^6,\)
\((-f(3x))^3 = (-(3x)^2)^3 = (-9x^2)^3 = -729x^6.\)

Дана функция:
\[
y = f(x), \quad f(x) = x^2.
\]

Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви направлены вверх, вершина в начале координат \((0; 0)\). Функция чётная: \(f(-x) = f(x)\), то есть симметрична относительно оси ординат. Она всегда принимает неотрицательные значения: \(f(x) \geq 0\) для любого действительного \(x\).

Особое внимание в этом задании уделяется различию между:
— \(f(\text{выражение})\) — подстановка всего выражения в функцию,
— \(f(x) + c\) или \(k \cdot f(x)\) — арифметические действия над уже вычисленным значением функции.

Эти два подхода дают принципиально разные результаты, и путаница между ними — частая ошибка учащихся.

Рассмотрим каждый пункт подробно.

а) Найдём значения функции в конкретных числовых точках

— \(f(-5) = (-5)^2 = 25\)
Квадрат отрицательного числа положителен. Это демонстрирует чётность функции: \(f(-5) = f(5)\).

— \(f(7) + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50\)
Сначала вычисляем значение функции при \(x = 7\), затем прибавляем 1. Это вертикальный сдвиг графика вверх на 1 единицу.

— \(f(5) — 4 = 5^2 — 4 = 25 — 4 = 21\)
Аналогично: вычисляем \(f(5)\), затем вычитаем 4 — сдвиг вниз.

—  \(f(7) — f(5) = 7^2 — 5^2 = 49 — 25 = 24\)
Здесь мы находим разность значений функции в двух точках. Это не то же самое, что \(f(7 — 5) = f(2) = 4\)!
Такой расчёт может использоваться, например, при нахождении средней скорости изменения функции.

б) Преобразования с линейными выражениями

Здесь особенно важно различать аргумент функции и внешние коэффициенты:

— \(f(2x + 5) = (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\)
Всё выражение \(2x + 5\) подставляется в функцию и возводится в квадрат. Это приводит к горизонтальному сжатию и сдвигу графика.

— \(f(2x) + 5 = (2x)^2 + 5 = 4x^2 + 5\)
Сначала подставляем \(2x\) в функцию → \(4x^2\), затем прибавляем 5.
Это не то же самое, что \(f(2x + 5)\)!

— \(2f(x) + 5 = 2x^2 + 5\)
Здесь сначала вычисляется \(f(x) = x^2\), затем результат умножается на 2 и прибавляется 5.
Это вертикальное растяжение в 2 раза и сдвиг вверх на 5.

— \(2f(x + 5) = 2(x + 5)^2 = 2(x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 20x + 50\)
Сначала сдвигаем аргумент на 5 влево (\(x + 5\)), возводим в квадрат, затем растягиваем по вертикали в 2 раза.

Эти примеры ярко показывают, как порядок операций влияет на результат.

в) Работа с квадратами и степенями

Теперь аргумент сам содержит степени. Обратите внимание на скобки:

— \(f(x^2) = (x^2)^2 = x^4\)
Подставляем \(x^2\) в функцию → получаем четвёртую степень.

— \(f(x^2 — 2) = (x^2 — 2)^2 = x^4 — 4x^2 + 4\)
Возводим всё выражение \(x^2 — 2\) в квадрат по формуле квадрата разности.

— \(f(x^2) — 2 = (x^2)^2 — 2 = x^4 — 2\)
Здесь минус 2 применяется после вычисления функции.
Это не то же самое, что \(f(x^2 — 2)\)!
Например, при \(x = 2\):
— \(f(x^2 — 2) = f(4 — 2) = f(2) = 4\),
— \(f(x^2) — 2 = f(4) — 2 = 16 — 2 = 14\).

— \(f((x — 2)^2) = ((x — 2)^2)^2 = (x — 2)^4\)
Аргумент — уже квадрат \((x — 2)^2\). Возводим его в квадрат ещё раз → получаем четвёртую степень двучлена.

Эти примеры подчёркивают важность точного понимания записи.

г) Работа с кубами и возведением в степень

Обратите внимание на последнее выражение — оно содержит возведение в куб всего значения функции:

— \(f(-x^3) = (-x^3)^2 = x^6\)
Минус исчезает при возведении в квадрат, степень удваивается: \((x^3)^2 = x^6\).

— \(3f(x^3) = 3(x^3)^2 = 3x^6\)
Сначала вычисляем \(f(x^3) = x^6\), затем умножаем на 3.

— \(f(3x^3) = (3x^3)^2 = 9x^6\)
Возводим всё выражение \(3x^3\) в квадрат → \(9x^6\).

— \((-f(3x))^3 = (-(3x)^2)^3 = (-9x^2)^3 = -729x^6\)
Пошагово:
1. \(f(3x) = (3x)^2 = 9x^2\),
2. \(-f(3x) = -9x^2\),
3. Возводим в куб: \((-9x^2)^3 = (-9)^3 \cdot (x^2)^3 = -729x^6\).