ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 47.7 Мордкович — Подробные Ответы

Числитель дроби произвольно выбирают из многочленов \(а^2-1, а^2+а, а^3-а\). Знаменатель произвольно выбирают из многочленов а-1, а+1. а) Сколько всего вариантов составления дроби существует? б) Выпишите все дроби с числителем, равным \(а^3\) — а. в) Какие из полученных дробей являются несократимыми? г) В скольких случаях после сокращения получится многочлен второй степени?

а) Сколько всего вариантов составления дроби существует?
\( N_1 = a^2-1 \)
\( N_2 = a^2+a \)
\( N_3 = a^3-a \)
\( D_1 = a-1 \)
\( D_2 = a+1 \)
\( 3 \cdot 2 = 6 \)
Ответ: 6

б) Выпишите все дроби с числителем, равным \( a^3 — a \).
\( \frac{a^3-a}{a-1} \)
\( \frac{a^3-a}{a+1} \)
Ответ: \( \frac{a^3-a}{a-1}, \frac{a^3-a}{a+1} \)

в) Какие из полученных дробей являются несократимыми?
\( a^2-1 = (a-1)(a+1) \)
\( a^2+a = a(a+1) \)
\( a^3-a = a(a^2-1) = a(a-1)(a+1) \)
\( \frac{a^2-1}{a-1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a-1} = a+1 \)
\( \frac{a^2-1}{a+1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a-1 \)
\( \frac{a^2+a}{a-1} = \frac{a(a+1)}{a-1} \)
\( \frac{a^2+a}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} = a \)
\( \frac{a^3-a}{a-1} = \frac{a(a-1)(a+1)}{a-1} = a(a+1) = a^2+a \)
\( \frac{a^3-a}{a+1} = \frac{a(a-1)(a+1)}{a+1} = a(a-1) = a^2-a \)
Несократимой является дробь:
\( \frac{a^2+a}{a-1} \)
Ответ: \( \frac{a^2+a}{a-1} \)

г) В скольких случаях после сокращения получится многочлен второй степени?
\( \frac{a^2-1}{a-1} = a+1 \) (многочлен первой степени)
\( \frac{a^2-1}{a+1} = a-1 \) (многочлен первой степени)
\( \frac{a^2+a}{a-1} = \frac{a(a+1)}{a-1} \) (не является многочленом)
\( \frac{a^2+a}{a+1} = a \) (многочлен первой степени)
\( \frac{a^3-a}{a-1} = a^2+a \) (многочлен второй степени)
\( \frac{a^3-a}{a+1} = a^2-a \) (многочлен второй степени)
Получаем многочлен второй степени в 2 случаях.
Ответ: 2

а) Сколько всего вариантов составления дроби существует?

Для составления дроби необходимо выбрать числитель и знаменатель из заданных выражений.
Числители: \(N_1 = a^2 — 1\), \(N_2 = a^2 + a\), \(N_3 = a^3 — a\) — всего 3 варианта.
Знаменатели: \(D_1 = a — 1\), \(D_2 = a + 1\) — всего 2 варианта.

Поскольку выбор числителя и знаменателя независим, общее количество возможных дробей определяется по правилу произведения:
\[
3 \cdot 2 = 6.
\]

Таким образом, можно составить шесть различных дробей.

б) Выпишите все дроби с числителем, равным \(a^3 — a\)

Фиксируем числитель как \(a^3 — a\). Знаменатель может быть либо \(a — 1\), либо \(a + 1\).
Следовательно, получаем две дроби:
\[
\frac{a^3 — a}{a — 1}, \quad \frac{a^3 — a}{a + 1}.
\]

Это исчерпывающий список всех дробей с данным числителем.

в) Какие из полученных дробей являются несократимыми?

Для ответа на этот вопрос разложим все числители и знаменатели на множители:

— \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\),
— \(a^2 + a = a(a + 1)\),
— \(a^3 — a = a(a^2 — 1) = a(a — 1)(a + 1)\).

Теперь рассмотрим каждую из шести дробей:

1. \(\frac{a^2 — 1}{a — 1} = \frac{(a — 1)(a + 1)}{a — 1} = a + 1\) — сокращается.
2. \(\frac{a^2 — 1}{a + 1} = \frac{(a — 1)(a + 1)}{a + 1} = a — 1\) — сокращается.
3. \(\frac{a^2 + a}{a — 1} = \frac{a(a + 1)}{a — 1}\) — числитель и знаменатель не имеют общих множителей (при условии, что \(a \neq \pm 1\)), поэтому дробь несократима.
4. \(\frac{a^2 + a}{a + 1} = \frac{a(a + 1)}{a + 1} = a\) — сокращается.
5. \(\frac{a^3 — a}{a — 1} = \frac{a(a — 1)(a + 1)}{a — 1} = a(a + 1) = a^2 + a\) — сокращается.
6. \(\frac{a^3 — a}{a + 1} = \frac{a(a — 1)(a + 1)}{a + 1} = a(a — 1) = a^2 — a\) — сокращается.

Из всего списка только одна дробь не поддаётся сокращению:
\[
\frac{a^2 + a}{a — 1}.
\]

г) В скольких случаях после сокращения получится многочлен второй степени?

Проанализируем результат сокращения каждой дроби:

1. \(\frac{a^2 — 1}{a — 1} = a + 1\) — многочлен первой степени.
2. \(\frac{a^2 — 1}{a + 1} = a — 1\) — многочлен первой степени.
3. \(\frac{a^2 + a}{a — 1}\) — не является многочленом, так как не сокращается и остаётся в виде дроби.
4. \(\frac{a^2 + a}{a + 1} = a\) — многочлен первой степени.
5. \(\frac{a^3 — a}{a — 1} = a^2 + a\) — многочлен второй степени.
6. \(\frac{a^3 — a}{a + 1} = a^2 — a\) — многочлен второй степени.

Таким образом, ровно в двух случаях (дроби 5 и 6) после сокращения получается многочлен второй степени.

Общий вывод

Задача демонстрирует применение базовых алгебраических навыков: подсчёт комбинаций, разложение на множители, сокращение дробей и определение степени многочлена. Ключевой момент — внимательный анализ общих множителей в числителе и знаменателе, что позволяет определить, является ли дробь сократимой. Результаты показывают, что большинство дробей упрощаются до многочленов первой степени, лишь две — до второй, и только одна остаётся несократимой.