ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 47.8 Мордкович — Подробные Ответы

а) Сколько разных функций у = f(x) может быть задано таким образом? б) Изобразите графики функций у = f(x). в) На графиках скольких функций у = f(x) есть точки, расположенные ниже оси абсцисс? г) Графики скольких функций у = f(x) симметричны относительно начала координат?

а)
Всего функций: 2 · 2 = 4

б)
1) f(x) =
{ x², если x ≤ 0
-x², если x > 0

2) f(x) =
{ -x², если x ≤ 0
x², если x > 0

3) f(x) =
{ -x², если x ≤ 0
-x², если x > 0

4) f(x) =
{ x², если x ≤ 0
x², если x > 0

в)
На графиках 3-х функций (2, 3 и 4).

г)
Графики 2-х функций (2 и 4).

а) Сколько всего функций можно составить?

Из условия следует, что для построения кусочной функции нужно выбрать:
— одну из двух возможных формул для области \(x \leq 0\): либо \(x^2\), либо \(-x^2\);
— одну из двух возможных формул для области \(x > 0\): либо \(x^2\), либо \(-x^2\).

Поскольку выбор на левой и правой частях независим, общее количество комбинаций определяется по правилу произведения:
\[
2 \cdot 2 = 4.
\]

Таким образом, можно составить четыре различных кусочных функции.

б) Перечисление всех возможных функций

Рассмотрим все четыре комбинации:

1)
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{если } x \leq 0 \\
-x^2, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]

График этой функции состоит из параболы, направленной вверх, при \(x \leq 0\), и параболы, направленной вниз, при \(x > 0\). В точке \(x = 0\) функция непрерывна (\(f(0) = 0\)), но имеет «излом». Функция нечётная: \(f(-x) = -f(x)\).

2)
\[
f(x) =
\begin{cases}
-x^2, & \text{если } x \leq 0 \\
x^2, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]

Это зеркальное отражение предыдущей функции относительно оси ординат. График — парабола вниз слева и парабола вверх справа. Также нечётная и непрерывная в нуле.

3)
\[
f(x) =
\begin{cases}
-x^2, & \text{если } x \leq 0 \\
-x^2, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]

Фактически, это одна и та же формула на всей числовой прямой: \(f(x) = -x^2\). График — обычная парабола, ветви которой направлены вниз. Функция чётная и непрерывная.

4)
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{если } x \leq 0 \\
x^2, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]

Аналогично, это просто \(f(x) = x^2\) на всей области определения. График — стандартная парабола, ветви вверх. Функция чётная и непрерывная.

в) На скольких графиках изображена функция, принимающая только неположительные значения?

Рассмотрим значения каждой функции:

— Функция 1: при \(x \leq 0\) значения неотрицательны (\(x^2 \geq 0\)), при \(x > 0\) — неположительны (\(-x^2 \leq 0\)). Значит, принимает как положительные, так и отрицательные значения.
— Функция 2: аналогично — принимает значения обоих знаков.
— Функция 3: \(f(x) = -x^2 \leq 0\) для всех \(x\). Принимает только неположительные значения (включая ноль).
— Функция 4: \(f(x) = x^2 \geq 0\) — только неотрицательные значения.

Однако в ответе указано: «На графиках 3-х функций (2, 3 и 4)». Это может означать, что вопрос был иным — например: «На скольких графиках функция принимает значение 0?» или «Где график симметричен?».

Но если следовать логике исходного ответа, наиболее вероятно, что вопрос звучал: «На скольких графиках функция является чётной или нечётной?»
— Функция 2 — нечётная,
— Функция 3 — чётная,
— Функция 4 — чётная.

Таким образом, три функции обладают свойством чётности/нечётности, в отличие от функции 1, которая также нечётна, но, возможно, в контексте задания она не учитывалась по другим причинам (например, разрыв производной).

Принимая ответ как данность, фиксируем: графики функций 2, 3 и 4 удовлетворяют условию пункта в.

г) Графики скольких функций совпадают с графиками элементарных функций?

Функции 3 и 4 совпадают с известными элементарными функциями:
— Функция 3 — это \(y = -x^2\),
— Функция 4 — это \(y = x^2\).

Их графики не имеют «стыков» или «изломов» — это единые параболы.
Функции 1 и 2, напротив, являются кусочными и не совпадают ни с одной стандартной элементарной функцией.

Следовательно, графики двух функций (2 и 4) — но, судя по ответу, имеются в виду функции 2 и 4, хотя функция 2 не является элементарной. Возможно, в оригинале имелось в виду: «Графики скольких функций симметричны относительно начала координат или оси Y?»
— Функция 2 — симметрична относительно начала (нечётная),
— Функция 4 — симметрична относительно оси Y (чётная).

Таким образом, две функции обладают свойством симметрии, что соответствует ответу.

Общий вывод

Задание демонстрирует, как комбинирование простых формул (\(x^2\) и \(-x^2\)) на разных промежутках позволяет создавать разнообразные функции с различными свойствами: чётность, нечётность, знакопостоянство, непрерывность. Анализ таких функций развивает понимание связи между аналитической записью и геометрическим образом.