ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.34 Мордкович — Подробные Ответы

Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD: А(2; -2) и С(-2; 2). Найдите координаты двух других вершин. Сколько решений имеет задача?

Условие

Найти координаты вершин B и D квадрата ABCD, если A(2; -2) и C(-2; 2).

Решение

1. Координаты середины отрезка AC (точка O):
\[
O(0; 0)
\]

2. Длина диагонали AC:
\[
AC = \sqrt{(-4)^2 + (4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]

3. Длина стороны квадрата:
\[
a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = 4
\]

4. Длина отрезков BO и OD:
\[
BO = OD = 2\sqrt{2}
\]

5. Уравнение для точки B:
\[
x^2 + y^2 = 8
\]

6. Вектор AC и перпендикулярный вектор BD:
\[
\vec{BD} = (-4; 4) \text{ или } (4; -4)
\]

7. Координаты точек B и D:
— \(B(2; 2), D(-2; -2)\)  или \(B(-2; -2), D(2; 2)\)

Ответ

Задача имеет два решения:
— \(B(2; 2), D(-2; -2)\)
— \(B(-2; -2), D(2; 2)\)

Условие:
Найти координаты вершин B и D квадрата ABCD, если A(2; -2) и C(-2; 2).

Решение:
1. Найдем координаты середины отрезка AC (точка O):
\(x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0\)

\(y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0\)

\(O(0; 0)\)
— центр квадрата

2. Найдем длину диагонали AC:
\(AC = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2} = \sqrt{(-2 — 2)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

3. Найдем длину стороны квадрата:
\(a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\)

4. Диагонали квадрата перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, \(BO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).

5. Пусть \(B(x; y)\). Тогда \(OB = 2\sqrt{2}\).
\(OB = \sqrt{(x — 0)^2 + (y — 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2}\)

\(x^2 + y^2 = 8\)

6. Вектор \(\vec{AC} = (-4; 4)\). Вектор \(\vec{BD}\) перпендикулярен \(\vec{AC}\). Значит, координаты вектора \(\vec{BD}\)
можно получить, поменяв координаты вектора \(\vec{AC}\) местами и изменив знак у одной из них. \(\vec{BD} = (-4; -4)\) или \(\vec{BD} = (4; 4)\)

Тогда координаты вектора \(\vec{OB}\) будут \((-2; -2)\) или \((2; 2)\).

7. Найдем координаты точек B и D:
\(B(2; 2)\), \(D(-2; -2)\) или \(B(-2; -2)\), \(D(2; 2)\)

B(2; 2), D(-2; -2) или B(-2; -2), D(2; 2). Задача имеет два решения.