ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 9.54 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции на заданном промежутке: а) \(у = \frac{1}{4}x + 2, [-4\); 4]; б) \(у = \frac{1}{4}x + 2, [0\);+∞); B) \(y = -\frac{1}{3}x — 1, (-∞\); 6]; г) \(y = -\frac{1}{3}x -1, (-3\); 3).

а)
\( y = \frac{1}{4}x + 2, \quad x \in [-4; 4] \)

\( y(-4) = \frac{1}{4}(-4) + 2 = -1 + 2 = 1 \)

\( y(4) = \frac{1}{4}(4) + 2 = 1 + 2 = 3 \)

\( y_{min} = 1 \)

\( y_{max} = 3 \)

б)
\( y = \frac{1}{4}x + 2, \quad x \in [0; +\infty) \)

\( y(0) = \frac{1}{4}(0) + 2 = 0 + 2 = 2 \)

\( y_{min} = 2 \)

\( y_{max} \)
не существует

в)
\( y = -\frac{1}{3}x — 1, \quad x \in (-\infty; 6] \)

\( y(6) = -\frac{1}{3}(6) — 1 = -2 — 1 = -3 \)

\( y_{max} \)
не существует
\( y_{min} = -3 \)

г)
\( y = -\frac{1}{3}x — 1, \quad x \in (-3; 3) \)

\( y(-3) = -\frac{1}{3}(-3) — 1 = 1 — 1 = 0 \)

\( y(3) = -\frac{1}{3}(3) — 1 = -1 — 1 = -2 \)

\( y \in (-2; 0) \)

Наибольшего и наименьшего значений не существует.

а) Задача: \( y = \frac{1}{4}x + 2 \) на промежутке \([-4; 4]\)

1. Вычисление значений в границах промежутка:
— При \( x = -4 \):
\[
y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4) + 2 = -1 + 2 = 1
\]

— При \( x = 4 \):
\[
y(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3
\]

2. Анализ функции:
— Функция \( y = \frac{1}{4}x + 2 \) является возрастающей, так как угловой коэффициент \( \frac{1}{4} \) положителен.

3. Наименьшее и наибольшее значения:
— Наименьшее значение: \( y(-4) = 1 \)
— Наибольшее значение: \( y(4) = 3 \)

Ответ: Наименьшее: 1, наибольшее: 3.

б) Задача: \( y = \frac{1}{4}x + 2 \) на промежутке \([0; +\infty)\)

1. Вычисление значения в границе промежутка:
— При \( x = 0 \):
\[
y(0) = \frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2
\]

2. Анализ функции:
— Функция возрастает на всем промежутке \([0; +\infty)\), так как угловой коэффициент положителен. Наибольшего значения она не имеет, так как \( y \) стремится к бесконечности при \( x \to +\infty \).

3. Наименьшее и наибольшее значения:
— Наименьшее значение: \( y(0) = 2 \)
— Наибольшего значения нет.

Ответ: Наименьшее: 2, наибольшего не существует.

в) Задача: \( y = -\frac{1}{3}x — 1 \) на промежутке \((-\infty; 6]\)

1. Вычисление значения в границе промежутка:
— При \( x = 6 \):
\[
y(6) = -\frac{1}{3} \cdot 6 — 1 = -2 — 1 = -3
\]

2. Анализ функции:
— Функция убывает на всем промежутке \((-\infty; 6]\), так как угловой коэффициент отрицателен. При \( x \to -\infty \) значение \( y \) также стремится к бесконечности.

3. Наименьшее и наибольшее значения:
— Наибольшее значение: \( y(6) = -3 \)
— Наименьшего значения нет, так как функция убывает до бесконечности.

Ответ: Наибольшее: -3, наименьшего не существует.

г) Задача: \( y = -\frac{1}{3}x — 1 \) на промежутке \((-3; 3)\)

1. Вычисление значений в границах промежутка:

— При \( x = -3 \):
\[
y(-3) = -\frac{1}{3} \cdot (-3) — 1 = 1 — 1 = 0
\]

— При \( x = 3 \):
\[
y(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3 — 1 = -1 — 1 = -2
\]

2. Анализ функции:
— Функция убывает на промежутке \((-3; 3)\), так как угловой коэффициент отрицателен.

3. Наименьшее и наибольшее значения:
— Наибольшее значение: \( y(-3) = 0 \) (не включая)
— Наименьшее значение: \( y(3) = -2 \) (не включая)

Ответ: Наибольшее: 0 (не включая), наименьшее: -2 (не включая).

Итоговые результаты:

— а) Наименьшее: 1, наибольшее: 3.
— б) Наименьшее: 2, наибольшего не существует.
— в) Наибольшее: -3, наименьшего не существует.
— г) Наибольшее: 0 (не включая), наименьшее: -2 (не включая).