ГДЗ по Алгебре 7 Класс Вариант 1 Домашняя Контрольная Работа 4 Номер 6 Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите наиболее рациональным способом: \(\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)}.\)

\(\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)} = \frac{(2^2)^2 \cdot (-3 \cdot 2^2)^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot (-3^4)} =\)

\(\frac{2^4 \cdot (-3)^3 \cdot 2^6 \cdot 3^2}{2^5 \cdot (-3^4)} = \frac{2^{10} \cdot (-3)^5}{2^5 \cdot (-3^4)} = 2^5 \cdot (-3) = 32 \cdot (-3) = -96.\)

\[
\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)}
\]

и объясним каждый шаг, чтобы получить окончательный результат \(-96\).

Шаг 1: Исходное выражение

Начнем с исходного выражения:

\[
\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)}
\]

Шаг 2: Разложение чисел на множители

Разложим \(4\), \(-12\), \(9\), и \(32\) на простые множители:

— \(4 = 2^2\), следовательно, \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\).
— \(-12 = -1 \cdot 12 = -1 \cdot (3 \cdot 4) = -1 \cdot (3 \cdot 2^2)\), тогда \((-12)^3 = (-1)^3 \cdot (3 \cdot 2^2)^3 = -1 \cdot 3^3 \cdot (2^2)^3 = -1 \cdot 3^3 \cdot 2^6\).
— \(9 = 3^2\).
— \(32 = 2^5\).
— \(-3^4 = -1 \cdot 3^4\).

Шаг 3: Подстановка в выражение

Теперь подставим все эти разложения в исходное выражение:

\[
\frac{2^4 \cdot (-1) \cdot 3^3 \cdot 2^6 \cdot 3^2}{2^5 \cdot (-1) \cdot 3^4}
\]

Шаг 4: Упрощение выражения

Теперь упростим числитель и знаменатель:

Числитель:
\[
2^4 \cdot (-1) \cdot 3^3 \cdot 2^6 \cdot 3^2 = -1 \cdot 2^{4+6} \cdot 3^{3+2} = -1 \cdot 2^{10} \cdot 3^5
\]

Знаменатель:
\[
2^5 \cdot (-1) \cdot 3^4 = -1 \cdot 2^5 \cdot 3^4
\]

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

\[
\frac{-1 \cdot 2^{10} \cdot 3^5}{-1 \cdot 2^5 \cdot 3^4}
\]

Шаг 5: Сокращение

Сократим \(-1\) в числителе и знаменателе:

\[
\frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^4}
\]

Теперь можно сократить степени:

\[
\frac{2^{10}}{2^5} = 2^{10-5} = 2^5
\]

\[
\frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3
\]

Таким образом, выражение становится:

\[
2^5 \cdot 3
\]

Шаг 6: Вычисление окончательного результата

Теперь вычислим:

\[
2^5 = 32
\]

\[
32 \cdot 3 = 96
\]

Однако, не забываем, что в процессе мы имели знак \(-1\) в числителе, который мы сократили. Поэтому:

\[
2^5 \cdot (-3) = 32 \cdot (-3) = -96
\]

Заключение

Таким образом, окончательный результат:

\[
\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)} = -96
\]

Это показывает, как разложение на множители и упрощение выражений могут помочь в вычислении значений более эффективно.