Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Вариант 1 Домашняя Контрольная Работа 7 Номер 8 Мордкович — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а) \(\frac{x^2 — y^2}{y^3 — x^3}\);
б) \(\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3}.\)
а) \(\frac{x^2 — y^2}{y^3 — x^3} = \frac{-(y — x)(y + x)}{(y — x)(y^2 + xy + x^2)} = -\frac{y + x}{y^2 + xy + x^2}.\)
б) \(\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3} = \frac{2a^2b^3(a^2 + 4ab + 4b^2)}{5ab^2(a + 2b)} =\)
\(= \frac{2ab(a + 2b)^2}{5(a + 2b)} = \frac{2ab(a + 2b)}{5}.\)
а)
\[
\frac{x^2 — y^2}{y^3 — x^3}
\]
Шаг 1. Заметим, что числитель — это разность квадратов:
\[
x^2 — y^2 = (x — y)(x + y).
\]
Однако в знаменателе стоит \(y^3 — x^3\), то есть разность кубов, но в «обратном» порядке: обычно пишут \(a^3 — b^3\), а здесь \(y^3 — x^3\). Чтобы удобнее было применять формулу, вынесем минус:
\[
y^3 — x^3 = -(x^3 — y^3).
\]
Но можно также сразу использовать формулу:
\[
y^3 — x^3 = (y — x)(y^2 + yx + x^2).
\]
Шаг 2. Перепишем числитель так, чтобы он содержал множитель \((y — x)\), как в знаменателе.
Поскольку \(x^2 — y^2 = -(y^2 — x^2) = -(y — x)(y + x)\), получаем:
\[
\frac{x^2 — y^2}{y^3 — x^3} = \frac{-(y — x)(y + x)}{(y — x)(y^2 + xy + x^2)}.
\]
Шаг 3. Сократим общий множитель \((y — x)\), при условии \(y \ne x\) (иначе исходное выражение не определено):
\[
= -\frac{y + x}{y^2 + xy + x^2}.
\]
Это окончательный упрощённый вид.
б)
\[
\frac{2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5}{5a^2b^2 + 10ab^3}
\]
Шаг 1. Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя.
В числителе:
— Все коэффициенты делятся на 2,
— Минимальная степень \(a\) — \(a^2\),
— Минимальная степень \(b\) — \(b^3\).
Выносим \(2a^2b^3\):
\[
2a^4b^3 + 8a^3b^4 + 8a^2b^5 = 2a^2b^3(a^2 + 4ab + 4b^2).
\]
Заметим, что выражение в скобках — полный квадрат:
\[
a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2.
\]
В знаменателе:
— Коэффициенты 5 и 10 имеют общий делитель 5,
— Минимальная степень \(a\) — \(a\),
— Минимальная степень \(b\) — \(b^2\).
Выносим \(5ab^2\):
\[
5a^2b^2 + 10ab^3 = 5ab^2(a + 2b).
\]
Шаг 2. Подставим разложения в дробь:
\[
\frac{2a^2b^3(a + 2b)^2}{5ab^2(a + 2b)}.
\]
Шаг 3. Сократим общие множители:
— \(a^2 : a = a\),
— \(b^3 : b^2 = b\),
— \((a + 2b)^2 : (a + 2b) = a + 2b\) (при \(a + 2b \ne 0\)).
Получаем:
\[
\frac{2ab(a + 2b)}{5}.
\]
Это окончательный результат.
