ГДЗ по Алгебре 7 Класс Вариант 1 Домашняя Контрольная Работа 7 Номер 9 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество а(b + с)2 + b(с + а)2 + с(а + b)2 — 4abc = (а + b)(b + с)(с + а).

\( a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 — 4abc \)
\( a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) — 4abc \)
\( ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 — 4abc \)
\( ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc — 4abc \)
\( ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc \)
\( a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc \)
\( (a + b)(b + c)(c + a) \)
\( (ab + ac + b^2 + bc)(c + a) \)
\( abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc \)
\( a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc \)
\( ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc\)

\(= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc \)
Ответ: Тождество доказано.

Условие: Доказать тождество \(a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 — 4abc = (a + b)(b + c)(c + a)\)

Решение:
Раскроем скобки в левой части:
\(a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) — 4abc\)
\(ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 — 4abc\)

Сгруппируем члены:
\(ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc — 4abc\)
\(ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc\)

Сгруппируем по переменным:
\(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc\)

Вынесем общие множители:
\(ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 2abc\)

Преобразуем выражение, чтобы получить множители \((a+b)\), \((b+c)\), \((c+a)\):
\(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc\)

Рассмотрим правую часть:
\((a + b)(b + c)(c + a)\)

Раскроем скобки:
\((ab + ac + b^2 + bc)(c + a)\)
\(abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc\)

Сгруппируем:
\(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ac^2 + 2abc\)

Сравним левую и правую части. Они равны.

Ответ: \((a + b)(b + c)(c + a)\)