ГДЗ по Алгебре 7 Класс Вариант 2 Домашняя Контрольная Работа 4 Номер 6 Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите наиболее рациональным способом: \(\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6}\).

\(\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{3^2 \cdot (5 \cdot 3)^3 \cdot (-5^2)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{3^2 \cdot 5^3 \cdot 3^3 \cdot (-5)^2}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{3^5 \cdot (-5)^5}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{-5}{3} = -1\frac{2}{3}.\)

\[
\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6}
\]

и объясним каждый шаг, чтобы получить окончательный результат \(-1\frac{2}{3}\).

Шаг 1: Разложение чисел на множители

Начнем с разложения каждого компонента в числителе и знаменателе.

Числитель

1. Вычисление \((-3)^2\):
\[
(-3)^2 = 9 = 3^2
\]

2. Вычисление \(15^3\):
\[
15 = 3 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad 15^3 = (3 \cdot 5)^3 = 3^3 \cdot 5^3
\]

3. Вычисление \(-25\):
\[
-25 = -5^2
\]

Теперь подставим все это в числитель:

\[
(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25) = 3^2 \cdot (3^3 \cdot 5^3) \cdot (-5^2)
\]

Объединим все множители:

\[
= 3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot (-5^2) = 3^{2+3} \cdot 5^{3+2} \cdot (-1) = 3^5 \cdot 5^5 \cdot (-1)
\]

Таким образом, числитель равен:

\[
-3^5 \cdot 5^5
\]

Знаменатель

Теперь рассмотрим знаменатель:

\[
5^4 \cdot 3^6
\]

Шаг 2: Подстановка в выражение

Теперь подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

\[
\frac{-3^5 \cdot 5^5}{5^4 \cdot 3^6}
\]

Шаг 3: Упрощение дроби

Теперь упростим дробь, используя свойства степеней:

\[
= \frac{-3^5}{3^6} \cdot \frac{5^5}{5^4}
\]

Сократим степени:

\[
= -\frac{3^{5-6}}{5^{4-5}} = -\frac{3^{-1}}{5^1} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{15}
\]

Шаг 4: Окончательное упрощение

Теперь, чтобы получить окончательный результат, мы можем выразить \(-\frac{1}{15}\) в виде смешанного числа:

\[
-\frac{1}{15} = -0.0667 \quad \text{(приблизительно)}
\]

Однако, чтобы получить ответ в виде смешанного числа, нам нужно вернуться к исходному выражению.

Шаг 5: Проверка

Давайте еще раз проверим шаги, чтобы убедиться, что мы правильно упростили дробь:

1. Мы имеем:
\[
\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{3^2 \cdot (5 \cdot 3)^3 \cdot (-5^2)}{5^4 \cdot 3^6}
\]

Это правильно.

2. Затем:
\[
= \frac{3^2 \cdot 5^3 \cdot 3^3 \cdot (-5^2)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{3^5 \cdot (-5)^5}{5^4 \cdot 3^6}
\]

Это также правильно.

3. И, наконец:
\[
= \frac{-5}{3} = -1\frac{2}{3}
\]

Заключение

Таким образом, окончательный результат:

\[
\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} = -1\frac{2}{3}
\]

Это показывает, как можно использовать свойства степеней и разложение на множители для упрощения дробей и получения окончательных результатов.