ГДЗ по Алгебре 7 Класс Вариант 2 Домашняя Контрольная Работа 4 Номер 7 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение \(\frac{(x^3)^2 \cdot x^7}{x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4} = 25\).

\(\frac{(x^3)^2 \cdot x^7}{x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4} = 25\)

\(\frac{x^6 \cdot x^7}{x^2 \cdot x^6 \cdot x^4} = 25\)

\(\frac{x^7}{x^6} = 25\)

\(x = 25.\)

\[
\frac{(x^3)^2 \cdot x^7}{x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4} = 25
\]

и объясним каждый шаг, чтобы получить значение \(x\).

Шаг 1: Упрощение числителя

Начнем с упрощения числителя:

\[
(x^3)^2 \cdot x^7
\]

Сначала вычислим \((x^3)^2\):

\[
(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6
\]

Теперь подставим это в числитель:

\[
x^6 \cdot x^7
\]

Используя свойства степеней, мы можем объединить степени:

\[
x^6 \cdot x^7 = x^{6+7} = x^{13}
\]

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Теперь упростим знаменатель:

\[
x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4
\]

Сначала вычислим \((x^2)^3\):

\[
(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6
\]

Теперь подставим это в знаменатель:

\[
x^2 \cdot x^6 \cdot x^4
\]

Объединим степени:

\[
x^2 \cdot x^6 \cdot x^4 = x^{2+6+4} = x^{12}
\]

Шаг 3: Подстановка в уравнение

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в уравнение:

\[
\frac{x^{13}}{x^{12}} = 25
\]

Шаг 4: Упрощение дроби

Теперь упростим дробь:

\[
\frac{x^{13}}{x^{12}} = x^{13-12} = x^1 = x
\]

Таким образом, у нас получается:

\[
x = 25
\]

Шаг 5: Проверка решения

Теперь давайте проверим, является ли \(x = 25\) решением исходного уравнения. Подставим \(x = 25\) в первоначальное уравнение:

1. Числитель:
\[
(25^3)^2 \cdot 25^7 = 25^6 \cdot 25^7 = 25^{6+7} = 25^{13}
\]

2. Знаменатель:
\[
25^2 \cdot (25^2)^3 \cdot 25^4 = 25^2 \cdot 25^6 \cdot 25^4 = 25^{2+6+4} = 25^{12}
\]

Теперь подставим это в уравнение:

\[
\frac{25^{13}}{25^{12}} = 25^{13-12} = 25^1 = 25
\]

Заключение

Таким образом, мы подтвердили, что решение \(x = 25\) верно.

В результате:

\[
\frac{(x^3)^2 \cdot x^7}{x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x = 25
\]

Это демонстрирует, как можно использовать свойства степеней для упрощения выражений и решения уравнений.