ГДЗ по Алгебре 7 класс Вариант 2 Домашняя Контрольная Работа 7 Номер 8 Мордкович — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \(\frac{a^3 + b^3}{b^2 — a^2}\);
б) \(\frac{3a^3b^2 — 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b — 18a^2b^2}.\)

а) \(\frac{a^3 + b^3}{b^2 — a^2} = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{(b — a)(b + a)} = \frac{a^2 — ab + b^2}{b — a}.\)

б) \(\frac{3a^3b^2 — 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b — 18a^2b^2} = \frac{3ab^2(a^2 — 6ab + 9b^2)}{6a^2b(a — 3b)} =\)

\(= \frac{b(a — 3b)^2}{2a(a — 3b)} = \frac{b(a — 3b)}{2a}.\)

а)
\[
\frac{a^3 + b^3}{b^2 — a^2}
\]

Шаг 1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель — сумма кубов:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2).
\]

Знаменатель — разность квадратов, но записан в порядке \(b^2 — a^2\):
\[
b^2 — a^2 = (b — a)(b + a).
\]

Шаг 2. Подставим разложения в дробь:
\[
\frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{(b — a)(b + a)}.
\]

Заметим, что \(a + b = b + a\), поэтому эти множители можно сократить (при условии \(a + b \ne 0\)):

\[
= \frac{a^2 — ab + b^2}{b — a}.
\]

Шаг 3. Выражение упрощено. Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель не содержит множителя \(b — a\).

Итак, окончательный результат:
\[
\frac{a^2 — ab + b^2}{b — a}.
\]

б)
\[
\frac{3a^3b^2 — 18a^2b^3 + 27ab^4}{6a^3b — 18a^2b^2}
\]

Шаг 1. Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя.

В числителе:
— Все коэффициенты делятся на 3,
— Минимальная степень \(a\) — \(a\),
— Минимальная степень \(b\) — \(b^2\).

Выносим \(3ab^2\):

\[
3a^3b^2 — 18a^2b^3 + 27ab^4 = 3ab^2(a^2 — 6ab + 9b^2).
\]

Выражение в скобках — полный квадрат:
\[
a^2 — 6ab + 9b^2 = (a — 3b)^2.
\]

В знаменателе:
— Коэффициенты 6 и 18 делятся на 6,
— Минимальная степень \(a\) — \(a^2\),
— Минимальная степень \(b\) — \(b\).

Выносим \(6a^2b\):

\[
6a^3b — 18a^2b^2 = 6a^2b(a — 3b).
\]

Шаг 2. Подставим разложения в дробь:

\[
\frac{3ab^2(a — 3b)^2}{6a^2b(a — 3b)}.
\]

Шаг 3. Сократим общие множители:
— Числовые коэффициенты: \(3 : 6 = 1:2\),
— \(a : a^2 = 1:a\),
— \(b^2: b = b\),
— \((a — 3b)^2 : (a — 3b) = a — 3b\) (при \(a \ne 3b\)).

Получаем:

\[
\frac{1 \cdot b \cdot (a — 3b)}{2 \cdot a} = \frac{b(a — 3b)}{2a}.
\]

Шаг 4. Это окончательный упрощённый вид.