Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 класс Вариант 2 Домашняя Контрольная Работа 7 Номер 9 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите тождество \((b — с)(b + с)^2\) + \((с — а)(с + а)^2\) + \((а — b)(a+ b)^2\) = -(а — b)(b — с)(с — а).
\((b — c)(b + c)^2 + (c — a)(c + a)^2 + (a — b)(a + b)^2 =\)
\(= -(a — b)(b — c)(c — a)\)
\((b — c)(b + c)(b + c) + (c — a)(c + a)(c + a) + (a — b)(a + b)(a + b) =\)
\(= -(a — b)(bc — ab — c^2 + ac)\)
\((b^2 — c^2)(b + c) + (c^2 — a^2)(c + a) + (a^2 — b^2)(a + b) =\)
\(= -(abc — a^2b — ac^2 + a^2c — b^2c + ab^2 + bc^2 — abc)\)
\(b^3 + b^2c — bc^2 — c^3 + c^3 + ac^2 — a^2c — a^3 + a^3 + a^2b — ab^2 — b^3 =\)
\(= a^2b + ac^2 — a^2c + b^2c — ab^2 — bc^2\)
\(b^2c — bc^2 + ac^2 — a^2c + a^2b — ab^2 = b^2c — bc^2 + ac^2 — a^2c + a^2b — ab^2.\)
Рассмотрим выражение:
\[
(b — c)(b + c)^2 + (c — a)(c + a)^2 + (a — b)(a + b)^2.
\]
Наша цель — показать, что оно тождественно равно \(-(a — b)(b — c)(c — a)\).
Шаг 1. Используем разность квадратов
Заметим, что \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\).
Поэтому каждое слагаемое можно переписать как:
— \((b — c)(b + c)^2 = (b^2 — c^2)(b + c)\),
— \((c — a)(c + a)^2 = (c^2 — a^2)(c + a)\),
— \((a — b)(a + b)^2 = (a^2 — b^2)(a + b)\).
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
\[
(b^2 — c^2)(b + c) + (c^2 — a^2)(c + a) + (a^2 — b^2)(a + b).
\]
Шаг 2. Раскроем каждое произведение
Раскроем скобки по формуле \((x^2 — y^2)(x + y) = x^3 + x^2y — xy^2 — y^3\):
1. \((b^2 — c^2)(b + c) = b^3 + b^2c — bc^2 — c^3\),
2. \((c^2 — a^2)(c + a) = c^3 + ac^2 — a^2c — a^3\),
3. \((a^2 — b^2)(a + b) = a^3 + a^2b — ab^2 — b^3\).
Шаг 3. Сложим все три результата
Сложим все полученные выражения:
\[
\begin{aligned}
&\big(b^3 + b^2c — bc^2 — c^3\big) \\
+ &\big(c^3 + ac^2 — a^2c — a^3\big) \\
+ &\big(a^3 + a^2b — ab^2 — b^3\big).
\end{aligned}
\]
Теперь объединим подобные члены:
— \(b^3 — b^3 = 0\),
— \(-c^3 + c^3 = 0\),
— \(-a^3 + a^3 = 0\),
Остаются только смешанные члены:
\[
b^2c — bc^2 + ac^2 — a^2c + a^2b — ab^2.
\]
Перегруппируем их для удобства:
\[
a^2b — ab^2 + b^2c — bc^2 + ac^2 — a^2c.
\]
Шаг 4. Вынесем общие множители (группировка)
Сгруппируем попарно:
— Из первых двух: \(a^2b — ab^2 = ab(a — b)\),
— Из следующих двух: \(b^2c — bc^2 = bc(b — c)\),
— Из последних двух: \(ac^2 — a^2c = ac(c — a) = -ac(a — c)\).
Но более эффективно — вынести общий множитель по формуле разложения симметрического выражения.
Заметим, что полученное выражение является кососимметричным: оно меняет знак при перестановке любых двух переменных. Такие выражения всегда делятся на \((a — b)(b — c)(c — a)\).
Проверим это напрямую.
Рассмотрим правую часть тождества:
\[
-(a — b)(b — c)(c — a).
\]
Раскроем её пошагово.
Сначала перемножим первые два множителя:
\[
(a — b)(b — c) = ab — ac — b^2 + bc.
\]
Теперь умножим на \((c — a)\):
\[
(ab — ac — b^2 + bc)(c — a).
\]
Раскрываем:
\[
= ab(c — a) — ac(c — a) — b^2(c — a) + bc(c — a)
\]
\[
= abc — a^2b — ac^2 + a^2c — b^2c + ab^2 + bc^2 — abc.
\]
Упрощаем: \(abc — abc = 0\), остальное:
\[
— a^2b — ac^2 + a^2c — b^2c + ab^2 + bc^2.
\]
Теперь возьмём минус от этого выражения (по формуле):
\[
-(\dots) = a^2b + ac^2 — a^2c + b^2c — ab^2 — bc^2,
\]
что точно совпадает с тем, что мы получили в левой части после упрощения.
Шаг 5. Вывод
Таким образом,
\[
(b — c)(b + c)^2 + (c — a)(c + a)^2 + (a — b)(a + b)^2 =
\]
\[
= -(a — b)(b — c)(c — a).
\]
Тождество доказано.
