ГДЗ по Алгебре 7 Класс Вариант 2 Домашняя Контрольная Работа 8 Номер 10 Мордкович — Подробные Ответы

Построите график функции

y = (4x² + x³):(x + 4) = (x²(4 + x)):(x + 4) = x², x ≠ -4

Исходная функция:

\[
y = \frac{4x^2 + x^3}{x + 4}
\]

Шаг 1: Разложение числителя

Числитель \(4x^2 + x^3\) можно переписать, вынеся общий множитель \(x^2\):

\[
4x^2 + x^3 = x^2(4 + x)
\]

Таким образом, функция принимает вид:

\[
y = \frac{x^2(4 + x)}{x + 4}
\]

Шаг 2: Упрощение дроби

Заметим, что \(4 + x = x + 4\). Следовательно, при условии, что знаменатель не равен нулю, можно сократить общий множитель:

\[
y = \frac{x^2(x + 4)}{x + 4} = x^2, \quad \text{если } x + 4 \ne 0
\]

Шаг 3: Условие допустимых значений

Деление на ноль невозможно, поэтому исходная функция **не определена** в точке, где знаменатель обращается в ноль:

\[
x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4
\]

Хотя после упрощения выражение становится \(y = x^2\), это верно **только при \(x \ne -4\)**. В точке \(x = -4\) исходная функция не имеет смысла, даже если предел существует.

Итоговое упрощённое выражение:

\[
y = x^2, \quad x \ne -4
\]

Геометрическая интерпретация

График этой функции совпадает с параболой \(y = x^2\), но с одной «выколотой» точкой в месте \(x = -4\).
Координаты выколотой точки: \((-4, (-4)^2) = (-4, 16)\).

Это означает, что:
— Область определения: \((-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)\),
— Область значений: \([0; +\infty)\), так как значение \(y = 16\) достигается при других \(x\) (например, \(x = 4\)),
— Функция непрерывна всюду, кроме точки \(x = -4\), где имеется **устранимый разрыв** (предел существует и равен 16, но сама функция в этой точке не определена).

Важное замечание

Нельзя сказать, что данная функция равна \(x^2\) на всей числовой прямой. Она совпадает с \(x^2\) везде, кроме одной точки. Это принципиальное различие в математическом анализе, особенно при изучении пределов и непрерывности.