ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Построить график заданной функции, найти область определения и область значений функции:

а) $y=x^2+3x-28$

Координаты вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot 1}=-\frac{3}{2}=-1,5;$$$$y_0=2,25-4,5-28=-30,25;$$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -1& 0& 1\\ y& -30& -28& -24\end{array}}$$

График функции:

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty });E(y)=[-30,25;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

б) $y=-x^2-2x+24$

Координаты вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot (-1)}=-\frac{2}{2}=-1;$$$$y_0=-1+2+24=25;$$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 24& 21& 16\end{array}}$$

График функции:

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty });E(y)=(-\mathrm{\infty };25]\mathrm{.}$$

а) $y=x^2+3x-28$

Шаг 1: Область определения $D(y)$

Функция $y=x^2+3x-28$ является квадратичной, и все квадратичные функции определены для всех значений $x$, так как нет ограничений на значение $x$. Следовательно, область определения этой функции:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2: Координаты вершины параболы

Для нахождения координат вершины параболы, нужно использовать формулу для $x_0$, абсциссы вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

где $a=1$ — коэффициент при $x^2$, а $b=3$ — коэффициент при $x$.

Подставляем значения:

$$x_0=-\frac{3}{2\cdot 1}=-\frac{3}{2}=-1,5$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы $x_0=-1,5$.

Теперь находим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0=-1,5$ в уравнение функции:

$$y_0=(-1,5{)}^2+3(-1,5)-28$$

Выполним вычисления:

$$y_0=2,25-4,5-28=-30,25$$

Таким образом, координаты вершины параболы $(x_0,y_0)=(-1,5;-30,25)$.

Шаг 3: Координаты некоторых точек

Для построения графика выберем несколько значений $x$ и вычислим соответствующие значения $y$:

• При $x=-1$:

$$y=(-1{)}^2+3(-1)-28=1-3-28=-30$$

Точка $(-1,-30)$.

• При $x=0$:

$$y=0^2+3(0)-28=-28$$

Точка $(0,-28)$.

• При $x=1$:

$$y=1^2+3(1)-28=1+3-28=-24$$

Точка $(1,-24)$.

Таким образом, у нас есть точки $(-1,-30)$, $(0,-28)$, $(1,-24)$, которые можно использовать для построения графика.

Шаг 4: График функции

График функции $y=x^2+3x-28$ будет представлять собой параболу, направленную вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный). Вершина будет в точке $(-1,5;-30,25)$, и парабола будет открываться вверх.

График функции:

Шаг 5: Область значений $E(y)$

Парабола открывается вверх, поэтому её минимальное значение достигается в вершине. Минимальное значение $y=-30,25$ в точке $x=-1,5$, и с увеличением $x$ значения $y$ возрастают. Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=[-30,25;+\mathrm{\infty })$$

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }),E(y)=[-30,25;+\mathrm{\infty })$$

б) $y=-x^2-2x+24$

Шаг 1: Область определения $D(y)$

Функция $y=-x^2-2x+24$ является квадратичной, и для всех квадратичных функций область определения будет $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$, так как нет ограничений на значение $x$. Область определения:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2: Координаты вершины параболы

Для нахождения координат вершины параболы используем формулу для $x_0$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

где $a=-1$ — коэффициент при $x^2$, а $b=-2$ — коэффициент при $x$.

Подставляем значения:

$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot (-1)}=-\frac{2}{-2}=-1$$

Таким образом, абсцисса вершины $x_0=-1$.

Теперь находим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0=-1$ в уравнение функции:

$$y_0=-(-1{)}^2-2(-1)+24$$

Выполним вычисления:

$$y_0=-1+2+24=25$$

Таким образом, координаты вершины параболы $(x_0,y_0)=(-1;25)$.

Шаг 3: Координаты некоторых точек

Для построения графика выберем несколько значений $x$ и вычислим соответствующие значения $y$:

• При $x=0$:

$$y=-(0{)}^2-2(0)+24=24$$

Точка $(0,24)$.

• При $x=1$:

$$y=-(1{)}^2-2(1)+24=-1-2+24=21$$

Точка $(1,21)$.

• При $x=2$:

$$y=-(2{)}^2-2(2)+24=-4-4+24=16$$

Точка $(2,16)$.

Таким образом, у нас есть точки $(0,24)$, $(1,21)$, $(2,16)$, которые можно использовать для построения графика.

Шаг 4: График функции

График функции $y=-x^2-2x+24$ будет представлять собой параболу, направленную вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Вершина будет в точке $(-1;25)$, и парабола будет открываться вниз.

График функции:

Шаг 5: Область значений $E(y)$

Парабола открывается вниз, поэтому её максимальное значение достигается в вершине. Максимальное значение $y=25$ в точке $x=-1$, и с увеличением $x$ значения $y$ будут уменьшаться. Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=(-\mathrm{\infty };25]$$

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }),E(y)=(-\mathrm{\infty };25]$$