ГДЗ Мордкович 10-11 Класс Алгебра И Начала Математического Анализа Задачник 📕 — Все Части

Алгебра

10-11 класс задачник алгебра и начала математического анализа Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.

ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{2 x - 4} + \frac{2 x + 3}{\sqrt{10 - 2, 5 x}}$

б) $y = \sqrt{10 x - 3 x^{2} - 3} + \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} - 4}} - \frac{1}{25 - 4 x^{2}}$

в) $y = \sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2} + \frac{2 x^{2} - 4}{\sqrt{10 - 2 x}}$

г) $y = \sqrt{x^{2} - 36} + \frac{5 x + 3}{\sqrt{11 x - x^{2} - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4} - 2401}$

Краткий ответ:

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt{2 x - 4} + \frac{2 x + 3}{\sqrt{10 - 2, 5 x}}$

Первое неравенство:
$2 x - 4 \geq 0;$
$2 x \geq 4;$
$x \geq 2;$

Второе неравенство:
$10 - 2, 5 x > 0;$
$2, 5 x < 10;$
$x < 4;$

Ответ: $D (y) = [2; 4) .$

б) $y = \sqrt{10 x - 3 x^{2} - 3} + \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} - 4}} - \frac{1}{25 - 4 x^{2}}$

Первое неравенство:
$10 x - 3 x^{2} - 3 \geq 0;$
$3 x^{2} - 10 x + 3 \leq 0;$
$D = 10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64, тогда:$
$x_{1} = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} и x_{2} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$
$(x - \frac{1}{3}) (x - 3) \leq 0;$
$\frac{1}{3} \leq x \leq 3;$

Второе неравенство:
$x^{2} - 4 > 0;$
$(x + 2) (x - 2) > 0;$
$x < - 2, x > 2;$

Третье неравенство:
$25 - 4 x^{2} \neq 0;$
$4 x^{2} \neq 25;$
$2 x \neq \pm 5;$
$x \neq \pm 2, 5;$

Ответ: $D (y) = (2; 2, 5) \cup (2, 5; 3] .$

в) $y = \sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2} + \frac{2 x^{2} - 4}{\sqrt{10 - 2 x}}$

Первое неравенство:
$2 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0;$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9, тогда:$
$x_{1} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5 и x_{2} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$
$(x - 0, 5) (x - 2) \geq 0;$
$x \leq 0, 5, x \geq 2;$

Второе неравенство:
$10 - 2 x > 0;$
$2 x < 10;$
$x < 5;$

Ответ: $D (y) = (- \infty; 0, 5] \cup [2; 5) .$

г) $y = \sqrt{x^{2} - 36} + \frac{5 x + 3}{\sqrt{11 x - x^{2} - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4} - 2401}$

Первое неравенство:
$x^{2} - 36 \geq 0;$
$(x + 6) (x - 6) \geq 0;$
$x \leq - 6, x \geq 6;$

Второе неравенство:
$11 x - x^{2} - 10 > 0;$
$x^{2} - 11 x + 10 < 0;$
$D = 11^{2} - 4 \cdot 10 = 121 - 40 = 81, тогда:$
$x_{1} = \frac{11 - 9}{2} = 1 и x_{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10;$
$(x - 1) (x - 10) < 0;$
$1 < x < 10;$

Третье неравенство:
$x^{4} - 2401 \neq 0;$
$x^{4} \neq 2401;$
$x \neq \pm 7;$

Ответ: $D (y) = [6; 7) \cup (7; 10) .$

Подробный ответ:

а) $y = \sqrt{2 x - 4} + \frac{2 x + 3}{\sqrt{10 - 2, 5 x}}$

Для того, чтобы функция была определена, необходимо, чтобы выражения под корнями и в знаменателе дроби были неотрицательными и не равнялись нулю.

Первое неравенство: $\sqrt{2 x - 4}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2 x - 4 \geq 0$

Решаем это неравенство:

$2 x \geq 4$ $x \geq 2$

Таким образом, первое условие для $x$ : $x \geq 2$ .

Второе неравенство: $\frac{2 x + 3}{\sqrt{10 - 2, 5 x}}$

В этом выражении знаменатель $\sqrt{10 - 2, 5 x}$ должен быть положительным, потому что деление на ноль невозможно, а также подкоренное выражение должно быть положительным:

$10 - 2, 5 x > 0$

Решаем это неравенство:

$2, 5 x < 10$ $x < 4$

Таким образом, второе условие для $x$ : $x < 4$ .

Совмещение условий

Из первого неравенства $x \geq 2$ и второго неравенства $x < 4$ получаем, что область определения функции $D (y)$ будет:

$D (y) = [2; 4)$

б) $y = \sqrt{10 x - 3 x^{2} - 3} + \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} - 4}} - \frac{1}{25 - 4 x^{2}}$

Для нахождения области определения этой функции разберем каждое выражение по порядку.

Первое неравенство: $\sqrt{10 x - 3 x^{2} - 3}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$10 x - 3 x^{2} - 3 \geq 0$

Приводим это неравенство к стандартной форме квадратного неравенства:

$- 3 x^{2} + 10 x - 3 \leq 0$

Умножим на $- 1$ (не меняется знак неравенства):

$3 x^{2} - 10 x + 3 \geq 0$

Решаем это неравенство через дискриминант. Для квадратичной функции $3 x^{2} - 10 x + 3$ :

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни этого уравнения:

$x_{1} = \frac{- (- 10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $x_{2} = \frac{- (- 10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Таким образом, неравенство $3 x^{2} - 10 x + 3 \geq 0$ эквивалентно:

$(x - \frac{1}{3}) (x - 3) \geq 0$

Итак, решение этого неравенства:

$x \leq \frac{1}{3} или x \geq 3$

Т.е. первое условие для $x$ : $x \in (- \infty; \frac{1}{3}] \cup [3; \infty)$ .

Второе неравенство: $\frac{3 x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Знаменатель под корнем $\sqrt{x^{2} - 4}$ должен быть положительным:

$x^{2} - 4 > 0$

Решаем это неравенство:

$(x - 2) (x + 2) > 0$

Решение:

$x < - 2 или x > 2$

Таким образом, второе условие для $x$ : $x \in (- \infty; - 2) \cup (2; \infty)$ .

Третье неравенство: $\frac{1}{25 - 4 x^{2}}$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$25 - 4 x^{2} \neq 0$

Решаем это уравнение:

$4 x^{2} \neq 25$ $x \neq \pm \frac{5}{2}$

Таким образом, третье условие для $x$ : $x \neq \pm 2, 5$ .

Совмещение условий

Объединяем все найденные ограничения для области определения функции:

$x \in (- \infty; \frac{1}{3}] \cup [3; \infty)$
$x \in (- \infty; - 2) \cup (2; \infty)$
$x \neq \pm 2, 5$

Совмещение всех этих условий даёт:

$D (y) = (2; 2, 5) \cup (2, 5; 3]$

в) $y = \sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2} + \frac{2 x^{2} - 4}{\sqrt{10 - 2 x}}$

Первое неравенство: $\sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$

Для решения этого неравенства находим дискриминант:

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Корни этого уравнения:

$x_{1} = \frac{- (- 5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0, 5$ $x_{2} = \frac{- (- 5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, неравенство $2 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$ эквивалентно:

$(x - 0, 5) (x - 2) \geq 0$

Решение этого неравенства:

$x \leq 0, 5 или x \geq 2$

Т.е. первое условие для $x$ : $x \in (- \infty; 0, 5] \cup [2; \infty)$ .

Второе неравенство: $\frac{2 x^{2} - 4}{\sqrt{10 - 2 x}}$

Знаменатель под корнем $\sqrt{10 - 2 x}$ должен быть положительным:

$10 - 2 x > 0$

Решаем это неравенство:

$2 x < 10$ $x < 5$

Таким образом, второе условие для $x$ : $x < 5$ .

Совмещение условий

Объединяем все найденные ограничения для области определения функции:

$x \in (- \infty; 0, 5] \cup [2; \infty)$
$x < 5$

Совмещение этих условий даёт:

$D (y) = (- \infty; 0, 5] \cup [2; 5)$

г) $y = \sqrt{x^{2} - 36} + \frac{5 x + 3}{\sqrt{11 x - x^{2} - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4} - 2401}$

Первое неравенство: $\sqrt{x^{2} - 36}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^{2} - 36 \geq 0$

Решаем это неравенство:

$(x - 6) (x + 6) \geq 0$

Решение:

$x \leq - 6 или x \geq 6$

Таким образом, первое условие для $x$ : $x \in (- \infty; - 6] \cup [6; \infty)$ .

Второе неравенство: $\frac{5 x + 3}{\sqrt{11 x - x^{2} - 10}}$

Знаменатель под корнем $\sqrt{11 x - x^{2} - 10}$ должен быть положительным:

$11 x - x^{2} - 10 > 0$

Решаем это неравенство:

$x^{2} - 11 x + 10 < 0$

Для этого уравнения находим дискриминант:

$D = (- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$

Корни:

$x_{1} = \frac{11 - 9}{2} = 1, x_{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10$

Решение:

$1 < x < 10$

Таким образом, второе условие для $x$ : $x \in (1; 10)$ .

Третье неравенство: $\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4} - 2401}$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^{4} - 2401 \neq 0$

Решаем это уравнение:

$x^{4} \neq 2401$ $x \neq \pm 7$

Таким образом, третье условие для $x$ : $x \neq \pm 7$ .

Совмещение условий

Объединяем все найденные ограничения для области определения функции:

$x \in (- \infty; - 6] \cup [6; \infty)$
$x \in (1; 10)$
$x \neq \pm 7$

Совмещение этих условий даёт:

$D (y) = [6; 7) \cup (7; 10)$

Оцени решение