ГДЗ 10-11 Класс Номер 1.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

а) $y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2,5x}}$

Первое неравенство:
$2x-4\ge 0;$
$2x\ge 4;$
$x\ge 2;$

Второе неравенство:
$10-2,5x>0;$
$2,5x<10;$
$x<4;$

Ответ: $D(y)=[2;4)\mathrm{.}$

б) $y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$

Первое неравенство:
$10x-3x^2-3\ge 0;$
$3x^2-10x+3\le 0;$
$D={10}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\text{и}{x}_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3;$
$(x-\frac{1}{3})(x-3)\le 0;$
$\frac{1}{3}\le x\le 3;$

Второе неравенство:
$x^2-4>0;$
$(x+2)(x-2)>0;$
$x<-2,x>2;$

Третье неравенство:
$25-4x^2\mathrm{\ne }0;$
$4x^2\mathrm{\ne }25;$
$2x\mathrm{\ne }\pm 5;$
$x\mathrm{\ne }\pm 2,5;$

Ответ: $D(y)=(2;2,5)\cup (2,5;3]\mathrm{.}$

в) $y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$

Первое неравенство:
$2x^2-5x+2\ge 0;$
$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=0,5\text{и}{x}_2=\frac{5+3}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2;$
$(x-0,5)(x-2)\ge 0;$
$x\le 0,5,x\ge 2;$

Второе неравенство:
$10-2x>0;$
$2x<10;$
$x<5;$

Ответ: $D(y)=(-\mathrm{\infty };0,5]\cup [2;5)\mathrm{.}$

г) $y=\sqrt{x^2-36}+\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$

Первое неравенство:
$x^2-36\ge 0;$
$(x+6)(x-6)\ge 0;$
$x\le -6,x\ge 6;$

Второе неравенство:
$11x-x^2-10>0;$
$x^2-11x+10<0;$
$D={11}^2-4\cdot 10=121-40=81,\text{ тогда: }$
$x_1=\frac{11-9}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{11+9}{2}=10;$
$(x-1)(x-10)<0;$
$1<x<10;$

Третье неравенство:
$x^4-2401\mathrm{\ne }0;$
$x^4\mathrm{\ne }2401;$
$x\mathrm{\ne }\pm 7;$

Ответ: $D(y)=[6;7)\cup (7;10)\mathrm{.}$

а) $y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2,5x}}$

Для того, чтобы функция была определена, необходимо, чтобы выражения под корнями и в знаменателе дроби были неотрицательными и не равнялись нулю.

Первое неравенство: $\sqrt{2x-4}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$2x-4\ge 0$$

Решаем это неравенство:

$$2x\ge 4$$$$x\ge 2$$

Таким образом, первое условие для $x$: $x\ge 2$.

Второе неравенство: $\frac{2x+3}{\sqrt{10-2,5x}}$

В этом выражении знаменатель $\sqrt{10-2,5x}$ должен быть положительным, потому что деление на ноль невозможно, а также подкоренное выражение должно быть положительным:

$$10-2,5x>0$$

Решаем это неравенство:

$$2,5x<10$$$$x<4$$

Таким образом, второе условие для $x$: $x<4$.

Совмещение условий

Из первого неравенства $x\ge 2$ и второго неравенства $x<4$ получаем, что область определения функции $D(y)$ будет:

$$D(y)=[2;4)$$

б) $y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$

Для нахождения области определения этой функции разберем каждое выражение по порядку.

Первое неравенство: $\sqrt{10x-3x^2-3}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$10x-3x^2-3\ge 0$$

Приводим это неравенство к стандартной форме квадратного неравенства:

$$-3x^2+10x-3\le 0$$

Умножим на $-1$ (не меняется знак неравенства):

$$3x^2-10x+3\ge 0$$

Решаем это неравенство через дискриминант. Для квадратичной функции $3x^2-10x+3$:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$$

Корни этого уравнения:

$$x_1=\frac{-(-10)-\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$$$x_2=\frac{-(-10)+\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Таким образом, неравенство $3x^2-10x+3\ge 0$ эквивалентно:

$$(x-\frac{1}{3})(x-3)\ge 0$$

Итак, решение этого неравенства:

$$x\le \frac{1}{3}\text{или}x\ge 3$$

Т.е. первое условие для $x$: $x\in (-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}]\cup [3;\mathrm{\infty })$.

Второе неравенство: $\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}$

Знаменатель под корнем $\sqrt{x^2-4}$ должен быть положительным:

$$x^2-4>0$$

Решаем это неравенство:

$$(x-2)(x+2)>0$$

Решение:

$$x<-2\text{или}x>2$$

Таким образом, второе условие для $x$: $x\in (-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;\mathrm{\infty })$.

Третье неравенство: $\frac{1}{25-4x^2}$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$25-4x^2\mathrm{\ne }0$$

Решаем это уравнение:

$$4x^2\mathrm{\ne }25$$$$x\mathrm{\ne }\pm \frac{5}{2}$$

Таким образом, третье условие для $x$: $x\mathrm{\ne }\pm 2,5$.

Совмещение условий

Объединяем все найденные ограничения для области определения функции:

1. $x\in (-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}]\cup [3;\mathrm{\infty })$
2. $x\in (-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;\mathrm{\infty })$
3. $x\mathrm{\ne }\pm 2,5$

Совмещение всех этих условий даёт:

$$D(y)=(2;2,5)\cup (2,5;3]$$

в) $y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$

Первое неравенство: $\sqrt{2x^2-5x+2}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$2x^2-5x+2\ge 0$$

Для решения этого неравенства находим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$

Корни этого уравнения:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=0,5$$$$x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Таким образом, неравенство $2x^2-5x+2\ge 0$ эквивалентно:

$$(x-0,5)(x-2)\ge 0$$

Решение этого неравенства:

$$x\le 0,5\text{или}x\ge 2$$

Т.е. первое условие для $x$: $x\in (-\mathrm{\infty };0,5]\cup [2;\mathrm{\infty })$.

Второе неравенство: $\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$

Знаменатель под корнем $\sqrt{10-2x}$ должен быть положительным:

$$10-2x>0$$

Решаем это неравенство:

$$2x<10$$$$x<5$$

Таким образом, второе условие для $x$: $x<5$.

Совмещение условий

Объединяем все найденные ограничения для области определения функции:

1. $x\in (-\mathrm{\infty };0,5]\cup [2;\mathrm{\infty })$
2. $x<5$

Совмещение этих условий даёт:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };0,5]\cup [2;5)$$

г) $y=\sqrt{x^2-36}+\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$

Первое неравенство: $\sqrt{x^2-36}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2-36\ge 0$$

Решаем это неравенство:

$$(x-6)(x+6)\ge 0$$

Решение:

$$x\le -6\text{или}x\ge 6$$

Таким образом, первое условие для $x$: $x\in (-\mathrm{\infty };-6]\cup [6;\mathrm{\infty })$.

Второе неравенство: $\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}$

Знаменатель под корнем $\sqrt{11x-x^2-10}$ должен быть положительным:

$$11x-x^2-10>0$$

Решаем это неравенство:

$$x^2-11x+10<0$$

Для этого уравнения находим дискриминант:

$$D=(-11{)}^2-4\cdot 1\cdot 10=121-40=81$$

Корни:

$$x_1=\frac{11-9}{2}=1,x_2=\frac{11+9}{2}=10$$

Решение:

$$1<x<10$$

Таким образом, второе условие для $x$: $x\in (1;10)$.

Третье неравенство: $\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x^4-2401\mathrm{\ne }0$$

Решаем это уравнение:

$$x^4\mathrm{\ne }2401$$$$x\mathrm{\ne }\pm 7$$

Таким образом, третье условие для $x$: $x\mathrm{\ne }\pm 7$.

Совмещение условий

Объединяем все найденные ограничения для области определения функции:

1. $x\in (-\mathrm{\infty };-6]\cup [6;\mathrm{\infty })$
2. $x\in (1;10)$
3. $x\mathrm{\ne }\pm 7$

Совмещение этих условий даёт:

$$D(y)=[6;7)\cup (7;10)$$