ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \sin x$, найти:

а) $f(\pi) = \sin \pi = 0$;
Ответ: 0.

б) $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1$;
Ответ: –1.

в) $f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Будем пользоваться двумя ключевыми фактами о синусе:

1. Чётность/нечётность: $\sin(-x)=-\sin x$ (синус — нечётная функция).
2. Формула для дополнительного угла: $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$. Она сразу следует из формул сложения:

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\pi\cos\alpha-\cos\pi\sin\alpha=0\cdot\cos\alpha-(-1)\sin\alpha=\sin\alpha.$$

Также помним табличные значения:

$$\sin 0=0,\;\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\;\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\;\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

и знаки синуса по четвертям: I $+$, II $+$, III $−$, IV $−$. Углы измеряются в радианах.

а) $f(\pi)=\sin\pi$

1. Угол $\pi$ рад — это $180^\circ$. Точка на единичной окружности соответствует координате $(-1,0)$.
2. Синус — это $y$-координата точки. При $\pi$ она равна $0$.
3. Следовательно, $\sin\pi=0$.

Ответ: $0$.

б) $f\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Подход 1 (нечётность):

1. Применим $\sin(-x)=-\sin x$:

   $$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).$$

2. $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ (угол $90^\circ$, точка $(0,1)$).
3. Значит,

   $$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$

Подход 2 (единичная окружность, проверка):

1. Угол $-\dfrac{\pi}{2}$ — это поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке, точка $(0,-1)$.
2. $y$-координата равна $-1$.

Ответ: $-1$.

в) $f\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

Подход 1 (дополнительный угол):

1. Представим $\dfrac{2\pi}{3}$ как $\pi-\dfrac{\pi}{3}$.
2. Применим $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$:

   $$\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

3. Табличное значение: $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Подход 2 (знак и опорный угол, проверка):

1. $\dfrac{2\pi}{3}$ — это $120^\circ$, II четверть, где синус $+$.
2. Опорный (острый) угол к оси $x$: $\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$.
3. В II четверти синус равен синусу опорного угла: $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Ответ: $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

г) $f\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

Подход 1 (нечётность):

1. $\sin(-x)=-\sin x\Rightarrow \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).$
2. $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
3. Тогда

   $$\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Подход 2 (четверть и опорный угол, проверка):

1. $-\dfrac{\pi}{3}=-60^\circ$ — это IV четверть, где синус $−$.
2. По модулю равен $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
3. Со знаком IV четверти получаем $-\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Ответ: $-\dfrac{\sqrt3}{2}$.