ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дано: f(x) = 2x² — x + 1. Докажите, чтоf(sinx) = 3 — 2cos²x — sinx.

Известно, что $f(x) = 2x^2 — x + 1$, доказать:

$$f(\sin x) = 3 — 2\cos^2 x — \sin x;$$ $$f(\sin x) = 2(\sin x)^2 — \sin x + 1 = 2\sin^2 x — 2 — \sin x + 3;$$ $$f(\sin x) = 3 — 2(1 — \sin^2 x) — \sin x = 3 — 2\cos^2 x — \sin x;$$

Что и требовалось доказать.

Задана квадратичная функция

$$f(x)=2x^2-x+1.$$

Нужно доказать тождество (верно для всех $x\in\mathbb R$):

$$f(\sin x)=3-2\cos^2 x-\sin x.$$

Первый вариант решения

Шаг 1. Подстановка аргумента $\sin x$ в $f$.
По определению функции:

$$f(\sin x)=2(\sin x)^2-\sin x+1=2\sin^2 x-\sin x+1.$$

Шаг 2. Применяем основное тригонометрическое тождество.
Из $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ получаем эквивалентные формы:

$$\sin^2 x=1-\cos^2 x \quad\text{и}\quad \cos^2 x=1-\sin^2 x.$$

Здесь удобнее заменить $\sin^2 x$ на $1-\cos^2 x$:

$$2\sin^2 x-\sin x+1 =2(1-\cos^2 x)-\sin x+1.$$

Шаг 3. Обычная алгебра: раскрываем скобки и приводим подобные.

$$2(1-{\cos }^{2}x)-\sin x+1=(2-2{\cos }^{2}x)-\sin x+1=$$

$$2(1-\cos^2 x)-\sin x+1 =(2-2\cos^2 x)-\sin x+1 =(2+1)-2\cos^2 x-\sin x =3-2\cos^2 x-\sin x.$$

Мы получили именно выражение из требования:

$$f(\sin x)=3-2\cos^2 x-\sin x.$$

Тождество доказано.

Второй вариант решения

Иногда удобно “подготовить” выражение к подстановке тождества, добавив и вычтя одно и то же число (то есть вставить ноль). Проделаем так:

Шаг 1. Как и выше,

$$f(\sin x)=2\sin^2 x-\sin x+1.$$

Шаг 2. Вставка нуля как $(-2)+(+2)$ внутри суммы.
Разобьём последний “+1” так: $+1=(-2)+3$. Это легально, потому что $-2+3=+1$. Тогда

$$2\sin^2 x-\sin x+1 =2\sin^2 x-\sin x-2+3.$$

Шаг 3. Группируем слагаемые, чтобы увидеть фактор $2(\sin^2 x-1)$.

$$(2\sin^2 x-2)-\sin x+3 =2(\sin^2 x-1)-\sin x+3.$$

Шаг 4. Снова используем $\sin^2 x-1=-(1-\sin^2 x)=-\cos^2 x$.

$$2(\sin^2 x-1)-\sin x+3 =-2(1-\sin^2 x)-\sin x+3 =-2\cos^2 x-\sin x+3.$$

Шаг 5. Перестановка слагаемых (коммутативность сложения).

$$3-2\cos^2 x-\sin x.$$

Получили ту же формулу.