ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дано:

$$y = f(x), \text{ где } f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } -\pi \leqslant x \leqslant 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$$

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(\pi^2)$;

б) Постройте график функции $y = f(x)$;

в) Прочитайте график функции $y = f(x)$.

Дана функция:
$f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } -\pi \leq x \leq 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

а) Найдем значения:
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1;$
$f(0) = \sin 0 = 0;$
$f(1) = \sqrt{1} = 1;$
$f(\pi^2) = \sqrt{\pi^2} = \pi;$

б) $y = \sin x$ — уравнение синусоиды:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\pi & -\frac{\pi}{2} & 0 \\ \hline y & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$y = \sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:
$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

в) Свойства функции:

• $D(f) = [-\pi; +\infty); \, E(f) = [-1; +\infty);$
• Возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2}; +\infty\right)$;
• Убывает на $\left[-\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$;
• $f(x) > 0$ на $(0; +\infty)$;
• $f(x) < 0$ на $(-π; 0)$;
• Ограничена снизу;
• $y_{\text{мин}} = y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $[-π; +\infty)$.

Постановка задачи и уточнения

Дана кусочно-заданная функция

$$f(x)= \begin{cases} \sin x,& -\pi\le x\le 0,\\[2mm] \sqrt{x},& x>0. \end{cases}$$

• Левая ветвь: обычная синусоида, ограниченная отрезком аргумента $[-\,\pi,\,0]$.
• Правая ветвь: главная (неотрицательная) ветвь корня $y=\sqrt{x}$, определена при $x\ge 0$; в нашей записи берём $x>0$, а значение в точке $x=0$ уже задано левой ветвью.

Важно: по определению $\sqrt{a}\ge 0$ для $a\ge 0$. Поэтому $\sqrt{\pi^2}=\pi$ (а не $\pm \pi$).

а) Точные значения

Разбираем каждую точку по правилу «какая ветвь действует?».

• $x=-\dfrac{\pi}{2}\in[-\pi,0]\Rightarrow f(x)=\sin x$:

$$f\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{2}=-1.$$

• $x=0\in[-\pi,0]\Rightarrow f(0)=\sin 0=0.$
• $x=1>0\Rightarrow f(1)=\sqrt{1}=1.$
• $x=\pi^2>0\Rightarrow f(\pi^2)=\sqrt{\pi^2}=\pi.$

Итого:

$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(\pi^2)=\pi.$$

б) Построение графика

Как построить аккуратно:

Левая часть, $y=\sin x$ на $[-\,\pi,0]$.
Ключевые точки:

$$(-\pi,0),\quad\left(-\frac{\pi}{2},-1\right),\quad(0,0).$$

На отрезке $[-\,\pi,-\tfrac{\pi}{2}]$ $\sin x$ убывает (производная $\cos x<0$),
на $[-\tfrac{\pi}{2},0]$ — возрастает ($\cos x>0$). Минимум $-1$ в точке $x=-\tfrac{\pi}{2}$.

Правая часть, $y=\sqrt{x}$ при $x>0$.
Стартовая точка продолжения — $(0,0)$ (у правой ветви предельное значение $0$ при $x\to 0+)$. Далее берём удобные квадраты:

$$(1,1),\ (4,2),\ (9,3),\ (16,4),\ \dots$$

Функция возрастает и «приплюснута» сверху (выпукла вниз): при увеличении $x$ приращения $y$ становятся всё меньше.

Стык в $x=0$.
$\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\sin x=0=f(0)$ и $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0$. Значит, график не имеет разрыва в нуле: обе ветви сходятся в точке $(0,0)$.

в) «Прочитать» график — свойства, интервалы, экстремумы, знаки

Область определения и значения

• Область определения: объединение $[-\,\pi,0]\cup(0,+\infty)=\boxed{[-\pi,+\infty)}$.
• Область значений: левая ветвь даёт $[-1,0]$, правая — $[0,+\infty)$. Итого
  $\boxed{E(f)=[-1,+\infty)}$.

Нули и пересечения с осями

• Нули: $x=-\pi$ (так как $\sin(-\pi)=0$) и $x=0$.
• Пересечение с осью $Oy$: точка $(0,0)$.

Знак функции

• $\boxed{f(x)<0\ \text{на}\ (-\pi,0)}$ (синус на этом промежутке отрицателен).
• $\boxed{f(x)>0\ \text{на}\ (0,+\infty)}$ (корень неотрицателен и положителен при $x>0$).
• $f(x)=0$ в точках $x=-\pi$ и $x=0$.

Монотонность

• На $\boxed{[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]}$: функция убывает (так как $\cos x<0$).
• На $\boxed{[-\tfrac{\pi}{2},0]}$: функция возрастает ($\cos x>0$).
• На $\boxed{(0,+\infty)}$: $y=\sqrt{x}$ строго возрастает (производная $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0$).
• Следовательно, на $\boxed{[-\tfrac{\pi}{2},+\infty)}$ функция монотонно неубывает «без перерыва».

Экстремумы и ограниченность

• Глобальный минимум: $\boxed{y_{\min}=-1\ \text{в точке}\ x=-\tfrac{\pi}{2}}$.
• Максимума нет (ветвь $\sqrt{x}\to+\infty$).
• Функция ограничена снизу ($f(x)\ge -1$) и не ограничена сверху.

Непрерывность и дифференцируемость

• На каждом из промежутков определения ветви непрерывны, и в точке $x=0$ левые/правые пределы совпадают с $f(0)$.
  Следовательно, $\boxed{f\ \text{непрерывна на}\ [-\pi,+\infty)}$.
• Производная по кускам:

  $$f'(x)= \begin{cases} \cos x,& -\pi<x<0,\\[1mm] \dfrac{1}{2\sqrt{x}},& x>0. \end{cases}$$

  В точке $x=0$: левая производная $f’_-(0)=\cos 0=1$, правая $f’_+(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=+\infty$.
  Значит, $\boxed{f\ \text{не дифференцируема в } x=0}$ (справа — вертикальный касательный).

Выпуклость (вогнутость)

• Для $\sin x$: $f»(x)=-\sin x$. На $(-\,\pi,0)$ $\sin x<0\Rightarrow f»(x)>0$ — выпукла вверх.
• Для $\sqrt{x}$: $f»(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}<0$ при $x>0$ — выпукла вниз.
• В $x=0$ характер выпуклости меняется (строгого «перегиба» в классическом смысле нет из-за отсутствия конечной правой производной, но смена выпуклости наблюдается).

Чётность/нечётность и периодичность

• Не чётная и не нечётная: область не симметрична относительно 0, да и $f(-x)$ не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$ для всех допустимых $x$.
• Не периодическая: правая ветвь $\sqrt{x}$ не периодична, поэтому вся функция тоже.

Пределы

• $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$.
• $\displaystyle \lim_{x\to -\pi^+} f(x)=\sin(-\pi)=0$.