ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\sin x=\frac{2}{\pi }x$

б) $\sin x=-\frac{4}{\pi }x+3$

Решить графически уравнение:

а) $\sin x = \frac{2}{\pi} x$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{2}{\pi} x$ — уравнение прямой;

Графики функций:

Ответ: $x_1 = \pm \frac{\pi}{2}$; $x_2 = 0$.

б) $\sin x = -\frac{4}{\pi} x + 3$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\frac{4}{\pi} x + 3$ — уравнение прямой;

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

а) $\sin x = \dfrac{2}{\pi}\,x$

1) Что сравниваем

Слева — синусоида $y=\sin x$ (чёткая периодическая, диапазон значений $[-1,1]$).
Справа — прямая $y=\dfrac{2}{\pi}x$ (проходит через начало координат, угловой коэффициент $\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}6366$).

2) Ограничим область возможных решений

Так как $|\sin x|\le 1$, то равенство $\sin x=\dfrac{2}{\pi}x$ возможно только там, где $\left|\dfrac{2}{\pi}x\right|\le 1$.
Отсюда $|x|\le \dfrac{\pi}{2}$.
Вне отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ прямая даёт по модулю значения $>1$, а синус — нет, поэтому пересечений там быть не может.

3) Симметрия

$\sin x$ — нечётная функция, и $\dfrac{2}{\pi}x$ — тоже нечётная. Значит, если $x=a$ — решение, то и $x=-a$ — решение. Достаточно найти решения на $[0,\tfrac{\pi}{2}]$, а затем отзеркалить.

4) Проверим концы отрезка

• В точке $x=0$: $\sin 0=0$ и $\dfrac{2}{\pi}\cdot 0=0$ — решение.
• В точке $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ и $\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2}=1$ — ещё одно решение.

5) Почему других на $[0,\tfrac{\pi}{2}]$ нет

Рассмотрим $g(x)=\sin x-\dfrac{2}{\pi}x$.

• $g(0)=0,\quad g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1-1=0$.
• $g»(x)=-\sin x\le 0$ на $[0,\tfrac{\pi}{2}]$ ⇒ $g$ вогнута вниз на всём отрезке.
  У вогнутой функции, имеющей одинаковые значения на концах отрезка, внутри отрезка значения строго больше линейной интерполяции этих концов, то есть $g(x)>0$ для $x\in(0,\tfrac{\pi}{2})$.
  Следовательно, $\sin x>\dfrac{2}{\pi}x$ внутри и равенство достигается только на концах.

С учётом нечётности получаем три и только три решения:

$$x=-\dfrac{\pi}{2},\quad x=0,\quad x=\dfrac{\pi}{2}.$$

Ответ для (а): $x=\;0,\;\pm\dfrac{\pi}{2}$.

б) $\sin x = -\dfrac{4}{\pi}\,x + 3$

1) Что сравниваем

Слева — та же синусоида $y=\sin x$.
Справа — прямая $y=-\dfrac{4}{\pi}x+3$ c отрицательным угловым коэффициентом $-\dfrac{4}{\pi}\approx-1{,}2732$ и пересечением с осью $y$ в точке $3$.

2) Ограничим область возможных решений по диапазону синуса

Чтобы $\sin x$ мог равняться правой части, необходимо, чтобы правая часть лежала в $[-1,1]$:

$$-1\le -\dfrac{4}{\pi}x+3\le 1.$$

Решим двойное неравенство по шагам:

1. $-\dfrac{4}{\pi}x+3\le 1 \;\Rightarrow\; -\dfrac{4}{\pi}x\le -2 \;\Rightarrow\; x\ge \dfrac{\pi}{2}.$
2. $-\dfrac{4}{\pi}x+3\ge -1 \;\Rightarrow\; -\dfrac{4}{\pi}x\ge -4 \;\Rightarrow\; x\le \pi.$

Итак, возможные $x$ только из отрезка $\left[\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right]$.
Вне его прямая даёт значения $>1$ (при $x<\tfrac{\pi}{2}$) или $<-1$ (при $x>\pi$), и равенства с $\sin x$ быть не может.

3) Проверим концы отрезка

• При $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ и $-\dfrac{4}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2}+3=-2+3=1$ — подходит.
• При $x=\pi$: $\sin\pi=0$, а $-\dfrac{4}{\pi}\cdot\pi+3=-4+3=-1$ — не подходит.

4) Докажем единственность решения на $[\tfrac{\pi}{2},\pi]$

Введём $h(x)=\sin x-\Big(-\dfrac{4}{\pi}x+3\Big)=\sin x+\dfrac{4}{\pi}x-3$.

Производная:

$$h'(x)=\cos x+\dfrac{4}{\pi}.$$

На $\left[\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right]$ имеем $\cos x\in[-1,0]$, поэтому

$$h'(x)\ge -1+\dfrac{4}{\pi}\approx -1+1{,}2732>0.$$

Следовательно, $h(x)$ на всём отрезке строго возрастает. Так как $h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$, то:

• для $x>\dfrac{\pi}{2}$ получаем $h(x)>0$ (равенство уже не выполняется),
• для $x<\dfrac{\pi}{2}$ мы вне допустимого отрезка (см. п.2).

Значит, на всей прямой $\mathbb{R}$ существует ровно одно решение, и это $x=\dfrac{\pi}{2}$.

Ответ для (б): $x=\dfrac{\pi}{2}$.