ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выяснить принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точки:

а) Точка $\left( -\frac{\pi}{2}; -1 \right)$;
$y \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1$;
Ответ: да.

б) Точка $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{1}{2} \right)$;
$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
Ответ: нет.

в) Точка $(\pi; 1)$;
$y(\pi) = \sin \pi = 0$;
Ответ: нет.

г) Точка $\left( \frac{3\pi}{2}; -1 \right)$;
$y \left( \frac{3\pi}{2} \right) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$;
Ответ: да.

Критерий принадлежности.

Точка $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции $y=\sin x$ тогда и только тогда, когда соблюдается равенство

$$y_0=\sin(x_0).$$

Во всех пунктах ниже углы заданы в радианах (раз фигурируют числа вида $\pi/2,\,\pi,\,3\pi/2$).

Полезные факты о синусе:

• $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
• $\sin(\pi)=0$.
• $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$.
• Нечётность: $\sin(-x)=-\sin x$.
• Периодичность: $\sin(x+2\pi k)=\sin x$ для любого целого $k$.

а) $\left(-\dfrac{\pi}{2};\, -1\right)$

Шаг 1. Подставляем абсциссу в функцию:

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right).$$

Шаг 2. Используем нечётность синуса:

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).$$

Шаг 3. Значение на специальном угле:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \;\;\Rightarrow\;\; -\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$

Шаг 4. Сравнение с ординатой точки:

$$y_0=-1 \;\; \text{и} \;\; \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \;\;\Rightarrow\;\; y_0=\sin(x_0).$$

Вывод: точка принадлежит графику.
(Замечание: все точки вида $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$ имеют $y=-1$.)

б) $\left(\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{1}{2}\right)$

Шаг 1. Подставляем абсциссу:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Шаг 2. Сравниваем с ординатой:

$$y_0=\frac{1}{2} \neq 1.$$

Вывод: равенство $y_0=\sin(x_0)$ не выполняется, точка не принадлежит графику.
(Замечание: при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ значение всегда ровно $1$, а не $1/2$.)

в) $(\pi;\, 1)$

Шаг 1. Подставляем абсциссу:

$$\sin(\pi)=0.$$

Шаг 2. Сравниваем:

$$y_0=1 \neq 0.$$

Вывод: точка не принадлежит графику.
(Замечание: при $x=\pi+2\pi k$ синус всегда $0$, так что ордината должна быть $0$, а не $1$.)

г) $\left(\dfrac{3\pi}{2};\, -1\right)$

Шаг 1. Подставляем абсциссу:

$$\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.$$

Шаг 2. Сравнение:

$$y_0=-1=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right).$$

Вывод: точка принадлежит графику.
(Эквивалентно: $\frac{3\pi}{2}=\,-\frac{\pi}{2}+2\pi$, а значит это тот же «минимум» синуса; все такие точки дают $y=-1$.)

Итоги:

а) да

б) нет

в) нет

г) да