ГДЗ 10-11 Класс Номер 10.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$:

а) На отрезке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3} \right]$;

Функция возрастает на $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3} \right]$:

$$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На интервале $\left( -\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$l = \frac{3\pi}{4} — \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} > 2\pi;$$ $$-1 \leq \sin x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$;

Функция возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$:

$$y(-\pi) = \sin(-\pi) = -\sin \pi = 0;$$ $$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Что нужно знать

• $y=\sin x$ — непрерывная и периодическая с периодом $T=2\pi$ функция.
• Критические точки — решения $\cos x=0$:
  $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}$.
  На них $\sin x=\pm1$:
  $\sin x=1$ при $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$,
  $\sin x=-1$ при $\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$ (то же, что $\frac{3\pi}{2}+2\pi k$).
• Знаки производной: $\sin x$ возрастает там, где $\cos x>0$ (интервалы $(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;\frac{\pi}{2}+2\pi k)$) и убывает там, где $\cos x<0$ (интервалы $(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;\frac{3\pi}{2}+2\pi k)$).

а) $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{2\pi}{3}\right]$

1) Тип множества. Компакт: отрезок (оба конца включены). По теореме Вейерштрасса непрерывная функция достигает минимума и максимума на отрезке.

2) Кандидаты на экстремумы.

• Концы: $x=\dfrac{\pi}{4}$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}$.
• Внутренние критические точки: решаем $\cos x=0$ внутри отрезка.
  Подходит $x=\dfrac{\pi}{2}$ (так как $\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2\pi}{3}$).

3) Значения функции в кандидатах.

$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660.$$

4) Сравнение.
$\displaystyle 1>\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значит максимум $=1$ (при $x=\frac{\pi}{2}$), минимум $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при $x=\frac{\pi}{4}$).

Ответ: $\displaystyle y_{\min}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad y_{\max}=1.$

б) $\left[\dfrac{\pi}{4},+\infty\right)$

1) Тип множества. Луч: правый конец бесконечен, левый конец включён.

2) Идея. На любом отрезке длиной $2\pi$ функция $\sin x$ пробегает все значения от $-1$ до $1$. Так как наш луч содержит бесконечно много полных периодов, нужно проверить, достигаются ли значения $\pm1$ уже на самом луче.

3) Достижимость $\boldsymbol{1}$.
Точки максимума $1$: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$.
Берём $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{2}$. Это число больше $\dfrac{\pi}{4}$, значит $x=\dfrac{\pi}{2}\in\left[\dfrac{\pi}{4},+\infty\right)$ и $\sin x=1$ достигается.

4) Достижимость $\boldsymbol{-1}$.
Точки минимума $-1$: $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (или $\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$).
Берём $k=1$: $x=\dfrac{3\pi}{2}$. Это число тоже $\ge \dfrac{\pi}{4}$, значит $\sin x=-1$ достигается.

5) Вывод. На данном луче $\sin x$ принимает как $1$, так и $-1$ бесконечно много раз. Никаких значений меньше $-1$ или больше $1$ у синуса нет.

Ответ: $\displaystyle y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$

в) $\left(-\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$

1) Длина интервала.

$$\ell=\frac{3\pi}{4}-\Bigl(-\frac{3\pi}{2}\Bigr)=\frac{3\pi}{4}+\frac{6\pi}{4}=\frac{9\pi}{4}>2\pi.$$

Интервал длиннее одного периода, значит внутри него есть хотя бы один полный период синуса.

2) Проверка, лежат ли точки $\sin x=\pm1$ внутри интервала.

• Для $1$: взять $x=\dfrac{\pi}{2}$. Проверка границ:
  $-\dfrac{3\pi}{2}<\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{3\pi}{4}$ — верно, значит $\sin x=1$ достигается.
• Для $-1$: взять $x=-\dfrac{\pi}{2}$. Проверка:
  $-\dfrac{3\pi}{2}<-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{3\pi}{4}$ — верно, $\sin x=-1$ достигается.

3) Вывод. На открытом интервале экстремальные значения не обязаны достигаться, но в нашем случае обе точки с $\pm1$ лежат строго внутри, значит и минимум, и максимум существуют и принимаются.

Ответ: $\displaystyle y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$

г) $\left(-\pi,\dfrac{\pi}{3}\right]$

1) Разбиение по монотонности. Смотрим знак $\cos x$.

• На $\left(-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right]$: $\cos x<0$ ⇒ $\sin x$ убывает.
• На $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3}\right]$: $\cos x>0$ ⇒ $\sin x$ возрастает
  (так как $\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$, мы остаёмся в области возрастания).

2) Кандидаты.

• Правый конец включён: $x=\dfrac{\pi}{3}$.
• Левый конец $-\pi$ не входит (интервал слева открыт).
• Внутренние критические точки: $\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
  Из них в наш промежуток попадает $x=-\dfrac{\pi}{2}$ (он действительно внутри, так как $-\pi<-\dfrac{\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}$).

3) Значения в кандидатах.

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660.$$

Значение в $-\pi$ нам не нужно (точка не входит), но полезно понимать поведение: на $\left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right]$ функция убывает, значит максимум на этом куске «стремится» к $\sin(-\pi)=0$, но он не достигается, потому что $-\pi$ исключён.

4) Сводим воедино.

• Минимум по всему полуинтервалу достигается в критической точке $x=-\dfrac{\pi}{2}$: $y_{\min}=-1$.
• Максимум достигается на правом включённом конце $x=\dfrac{\pi}{3}$: $y_{\max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
  Внутри $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3}\right]$ $\sin x$ растёт и вершины $1$ не достигает (нужно было бы дойти до $x=\dfrac{\pi}{2}$, но эта точка вне нашего множества).

Ответ: $\displaystyle y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Итог по всем пунктам:

а) $\displaystyle \left[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}\right]$: $\;y_{\min}=\frac{\sqrt{2}}{2},\; y_{\max}=1.$

б) $\displaystyle \left[\frac{\pi}{4},+\infty\right)$: $\;y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1$ (оба значения достигаются на луче многократно).

в) $\displaystyle \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$: $\;y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1$ (обе точки с $\pm1$ лежат внутри интервала).

г) $\displaystyle \left(-\pi,\frac{\pi}{3}\right]$: $\;y_{\min}=-1$ (при $x=-\frac{\pi}{2}$), $\;y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (при $x=\frac{\pi}{3}$).