ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \cos x$, найти:

а) $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$;
Ответ: 0.

б) $f(-\pi) = \cos(-\pi) = \cos \pi = -1$;
Ответ: –1.

в) $f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos \frac{5\pi}{6} = \cos \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $f\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$;
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Полезные факты:

• Единичная окружность. $\cos \theta$ — это $x$-координата точки на окружности радиуса 1 при повороте на угол $\theta$ от оси $Ox$ против часовой стрелки.
• Чётность косинуса: $\cos(-\theta)=\cos\theta$.
• Формула приведения для II четверти: $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$. Доказательство через формулу косинуса разности:

$$\cos(\pi-\alpha)=\cos\pi\cos\alpha+\sin\pi\sin\alpha=(-1)\cos\alpha+0\cdot \sin\alpha=-\cos\alpha.$$

• Табличные значения (из треугольника $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$):
  $\cos\frac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\qquad \cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$,
  $\cos\frac{\pi}{2}=\cos 90^\circ=0$, $\qquad \cos\pi=\cos 180^\circ=-1.$

а) $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

Угол $\dfrac{\pi}{2}$ — это $90^\circ$. Точка на единичной окружности: $(0,1)$.

$\cos\dfrac{\pi}{2}$ — $x$-координата этой точки, то есть $0$.
Итого:

$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

Ответ: 0.

б) $f(-\pi)$

Используем чётность: $\cos(-\pi)=\cos\pi$.

$\cos\pi=-1$ (точка $(-1,0)$ на окружности).
Итого:

$$f(-\pi)=\cos(-\pi)=\cos\pi=-1.$$

Ответ: –1.

в) $f\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$

Представим угол как $\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}$ (II четверть).

Для косинуса во II четверти применяем формулу приведения:

$$\cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Подставляем табличное значение $\cos\frac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Итого:

$$f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $f\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)$

Два эквивалентных пути — покажу оба для полноты.

Путь 1 (чётность):

$\cos$ чётен, значит $\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ (II четверть). Тогда

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}.$$

И потому $\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$.

Путь 2 (геометрически):
Угол $-\dfrac{2\pi}{3}=-120^\circ$ даёт ту же $x$-координату, что и $+120^\circ$ (симметрия относительно оси $Ox$), а $\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}$.

Итого:

$$f\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}.$$

Ответ: $-\dfrac{1}{2}$.