ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция:

$$y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \leq 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды:

$$y(0) = \sin 0 = 0;$$

$y = x^2$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & \frac{\pi}{2} \\ \hline y & 0 & 1 & \approx 2,25 \\ \hline \end{array}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$

График функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); \quad E(f) = \left[-1; \frac{\pi^2}{4}\right);$
• Возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n\right] \cup [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n];$
• Убывает на $\left[-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right] \cup [2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $(-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n) \cup \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right);$
• $f(x) < 0$ на $(- \pi — 2\pi n; -2\pi n) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right);$
• Ограничена снизу и сверху;
• $y_{\min} = y(\pi) = -1;$
• $y_{\max}$ — не существует;
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; +\infty\right)$

Условие

$$f(x)= \begin{cases} \sin x,& x\le 0,\\[2mm] x^2,& 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\[2mm] \cos x,& x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases}$$

1) Область определения и значения

• Область определения: каждая ветвь определена на своём куске, граничные точки включены так, как записано.
  $\boxed{D(f)=\mathbb R.}$
• Множество значений:
  $\sin x\in[-1,1]$ на $x\le 0$; $x^2\in(0,(\pi/2)^2)$ на $0<x<\pi/2$; $\cos x\in[-1,1]$ на $x\ge \pi/2$ (и при $x=\pi/2$ даёт 0).
  Верхняя грань — $\sup =(\pi/2)^2=\pi^2/4$, но не достигается (точка $x=\pi/2$ относится к ветви $\cos$).
  Нижняя грань $-1$ достигается (например, $x=\pi$ или $x=-3\pi/2$).
  $\boxed{E(f)=[-1,\ \pi^2/4)}$.

2) Непрерывность и поведение в точках склейки

• В $x=0$:
  $\lim\limits_{x\to 0^-}\sin x=0,\ \lim\limits_{x\to 0^+}x^2=0,\ f(0)=\sin 0=0$.
  $\Rightarrow$ $f$ непрерывна в $x=0$.
• В $x=\dfrac{\pi}{2}$:
  $\lim\limits_{x\to (\pi/2)^-}x^2=(\pi/2)^2,\ f(\pi/2)=\cos(\pi/2)=0$.
  Левый и «значение» (а также правый предел) различаются $\Rightarrow$ разрыв скачком в $x=\pi/2$.
• Где непрерывна:
  $\boxed{\text{Непрерывна на }(-\infty,\pi/2)\ \cup\ (\pi/2,\infty).}$

3) Дифференцируемость

• На интервалах $(-\infty,0),\ (0,\pi/2),\ (\pi/2,\infty)$ всё гладко (обычные элементарные функции).
• В $x=0$:
  $f’_-(0)=\cos 0=1,\quad f’_+(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0$.
  $\Rightarrow$ производные слева и справа разные ⇒ в 0 недифференцируема (угол).
• В $x=\pi/2$ функция разрывна ⇒ не дифференцируема.

4) Производная и монотонность

Покоечно:

$$f'(x)= \begin{cases} \cos x,& x<0,\\ 2x,& 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\ -\sin x,& x>\dfrac{\pi}{2}. \end{cases}$$

• На $(0,\pi/2)$: $2x>0\Rightarrow$ строгий рост.
• На $(\pi/2,\infty)$: знак $-\sin x$:
  убывает на $[\pi/2,\pi]$, возрастает на $[\pi,2\pi]$, убывает на $[2\pi,3\pi]$ и т. д.
• На $(-\infty,0)$: как у $\sin x$:
  возрастает на $[-\pi/2-2\pi n,\ \pi/2-2\pi n]$, убывает на $[-\!3\pi/2-2\pi n,\ -\pi/2-2\pi n]$ (берём только части, попадающие в $(-\infty,0]$), $n\in\mathbb Z_{\ge 0}$.

Соберём аккуратно:

• $\boxed{\text{Возрастает на }\ \bigcup\limits_{n\ge 0}\left[-\frac{\pi}{2}-2\pi n,\ \frac{\pi}{2}-2\pi n\right]\ \cup\ (0,\frac{\pi}{2})\ \cup\ \bigcup\limits_{n\ge 0}\left[\pi+2\pi n,\ 2\pi+2\pi n\right].}$
• $\boxed{\text{Убывает на }\ \bigcup\limits_{n\ge 0}\left[-\frac{3\pi}{2}-2\pi n,\ -\frac{\pi}{2}-2\pi n\right]\ \cup\ \left[\frac{\pi}{2},\ \pi\right]\ \cup\ \bigcup\limits_{n\ge 0}\left[2\pi+2\pi n,\ 3\pi+2\pi n\right].}$

5) Экстремумы (локальные/глобальные)

• На $x\le 0$ (ветвь $\sin x$):
  • локальные максимумы: $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le 0$, значение $1$;
  • локальные минимумы: $x=-\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\le 0$, значение $-1$.
• На $(0,\pi/2)$ у $x^2$ критических точек нет (монотонный рост).
• На $[\,\pi/2,\infty)$ (ветвь $\cos x$):
  • локальные максимумы: $x=2\pi k$ с $k\ge 1$ (первый после $\pi/2$ — $x=2\pi$), значение $1$;
  • локальные минимумы: $x=\pi+2\pi k$ ($k\ge 0$), значение $-1$.
• Глобальный минимум: $-1$ — достигается (напр., $x=\pi$).
• Глобального максимума нет: верхняя грань $\pi^2/4$ не достигается (на левой границе среднего куска точка не входит).

6) Нули (пересечения с $Ox$)

• Ветвь $\sin x$ при $x\le 0$: $x=\pi m$ с $m\le 0$ ⇒ $\dots,-2\pi,\,-\pi,\,0$.
• Ветвь $x^2$ на $(0,\pi/2)$: корней нет.
• Ветвь $\cos x$ при $x\ge \pi/2$: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m$ с $m\ge 0$ ⇒ $\pi/2,\,3\pi/2,\,5\pi/2,\dots$.

Итого:

$$\boxed{Z(f)=\{\pi m:\ m\le 0\}\ \cup\ \left\{\frac{\pi}{2}+\pi m:\ m\ge 0\right\}.}$$

7) Знаки функции

• На $x\le 0$: $\sin x>0$ при $x\in(-2\pi-2\pi n,\ -\pi-2\pi n)$; $\sin x<0$ при $x\in(-\pi-2\pi n,\ -2\pi n)$, $n\in\mathbb Z_{\ge 0}$.
• На $(0,\pi/2)$: $x^2>0$.
• На $[\,\pi/2,\infty)$: $\cos x>0$ на $(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n,\ \tfrac{5\pi}{2}+2\pi n)$, $\cos x<0$ на $(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ \tfrac{3\pi}{2}+2\pi n)$, $n\in\mathbb Z_{\ge 0}$.

Это ровно формулировки, записанные у тебя в «свойствах».

8) Выпуклость/вогнутость и точки перегиба (для полноты)

Вторые производные:

$$f»(x)= \begin{cases} -\sin x,& x<0,\\ 2,& 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\ -\cos x,& x>\dfrac{\pi}{2}. \end{cases}$$

• На $(0,\pi/2)$: $f»=2>0$ ⇒ выпукла вверх.
• На отрицательной полуоси: меняется знакопеременно по периодам $\sin x$ (как у $\sin$).
• На $(\pi/2,\infty)$: вогнутость меняется по периодам $\cos x$.
  Точки перегиба возможны внутри периодических кусков синуса/косинуса там, где вторая производная меняет знак ($x=-\pi n$ для ветви $\sin$ при $x<0$, $x=\pi/2+\pi n$ для ветви $\cos$ при $x>\pi/2$, если точка лежит в соответствующем куске).

9) Чётность и периодичность

Функция составная (разные формулы на разных полуосях), симметрии $f(-x)=\pm f(x)$ нет; сшивка ломает периодичность.
$\boxed{\text{Ни чётная, ни нечётная; не периодическая.}}$

10) Ограниченность

$\boxed{\text{Ограничена снизу и сверху: } -1\le f(x)<\pi^2/4.}$

График