ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $\cos x \geq 1 + |x|$;
Левая часть неравенства:
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
Правая часть неравенства:
$|x| \geq 0$;
$1 + |x| \geq 1$;
Ответ: $x = 0$.

б) $2 \cos x \leq 2 + x^4$;
Левая часть неравенства:
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$-2 \leq 2 \cos x \leq 2$;
Правая часть неравенства:
$x^4 \geq 0$;
$2 + x^4 \geq 2$;
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

а) $\;\cos x \ge 1+|x|$

Оценка слева. Для любого действительного $x$:

$$-1 \le \cos x \le 1 \;\;\Rightarrow\;\; \cos x \le 1.$$

Значит, левая часть не превышает 1.

Оценка справа. По определению модуля:

$$|x| \ge 0 \;\;\Rightarrow\;\; 1+|x| \ge 1.$$

Причём равенство $1+|x|=1$ достигается только при $|x|=0$, то есть при $x=0$. Если $x\ne 0$, то $1+|x|>1$.

Сопоставление оценок. Хотим $\cos x \ge 1+|x|$. Но

• $\cos x \le 1$,
• $1+|x| \ge 1$.

Чтобы неравенство $\cos x \ge 1+|x|$ вообще могло выполниться, обе части должны «встретиться» в одном значении — в единице:

$$\cos x = 1 \quad\text{и}\quad 1+|x|=1.$$

Второе равенство даёт $|x|=0 \Rightarrow x=0$.
Для $x=0$ первое тоже верно: $\cos 0=1$.

Если же $x\ne 0$, то правая часть $1+|x|>1$, а левая $\cos x\le 1$, следовательно $\cos x < 1+|x|$ — неравенство нарушается.

Итог (а): единственное решение $x=0$.

б) $\;2\cos x \le 2+x^4$

Оценка слева. Из $-1\le \cos x\le 1$ следует

$$-2 \le 2\cos x \le 2 \;\;\Rightarrow\;\; 2\cos x \le 2.$$

Оценка справа. Так как $x^4\ge 0$ для всех $x\in\mathbb{R}$, имеем

$$2+x^4 \ge 2.$$

Цепочка неравенств. Для любого $x$:

$$2\cos x \;\le\; 2 \;\le\; 2+x^4 \;\;\Rightarrow\;\; 2\cos x \le 2+x^4.$$

То есть неравенство выполнено для всех $x\in\mathbb{R}$.

Случаи равенства. Равенство возможно только когда левая часть принимает свой максимум $2$ (то есть $\cos x=1$) и одновременно правая часть — свой минимум $2$ (то есть $x^4=0 \Rightarrow x=0$). При $x=0$ действительно:

$$2\cos 0 = 2,\quad 2+0^4=2.$$

Для $x\ne 0$ правая часть $>2$, а левая $\le 2$, так что строгого равенства нет.

Итог (б): решение $x\in(-\infty,+\infty)$ (все действительные числа), причём равенство достигается только при $x=0$.

Ответ:

а) $x=0$.
б) $x\in\mathbb{R}$ (равенство — лишь при $x=0$).