ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что функция $y = f(x)$ является четной, если:

а) $f(x) = x^2 \cdot \cos x$;

Область определения функции:

$$x \in (-\infty; +\infty);$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(-x) = x^2 \cdot \cos x = f(x);$$

Что и требовалось доказать.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 — x^2};$

Область определения функции:

$$4 — x^2 \neq 0;$$ $$x^2 \neq 4;$$ $$x \neq \pm 2;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = \frac{\cos(-x)^3}{4 — (-x)^2} = \frac{\cos(-x^3)}{4 — x^2} = \frac{\cos x^3}{4 — x^2} = f(x);$$

Что и требовалось доказать.

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|};$

Область определения функции:

$$x \neq 0;$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = \frac{\cos(-5x) + 1}{|-x|} = \frac{\cos 5x + 1}{|x|} = f(x);$$

Что и требовалось доказать.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x — 1);$

Область определения функции:

$$x \in (-\infty; +\infty);$$

Область определения симметрична:

$$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) — 1);$$ $$f(-x) = (4 + \cos x)((-\sin x)^6 — 1);$$ $$f(-x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x — 1) = f(x);$$

Что и требовалось доказать.

Функция $f$ называется чётной, если:

1. её область определения $D_f$ симметрична относительно 0, то есть из $x\in D_f$ следует $-x\in D_f$;
2. для всех $x\in D_f$ верно равенство $f(-x)=f(x)$.

Полезные факты:

• $\cos(-t)=\cos t$ — косинус чётный.
• $\sin(-t)=-\sin t$ — синус нечётный.
• $|-x|=|x|$ — модуль чётный.
• Если $g$ чётная и $h$ чётная, то $g\pm h$ чётная, $g\cdot h$ чётная. Если $h(x)\neq 0$ на $D$, то $\dfrac{g}{h}$ чётная.
• Если внешняя функция $F$ чётная ($F(-u)=F(u)$), а внутренняя $u(x)$ нечётная ($u(-x)=-u(x)$), то композиция $F(u(x))$ чётная: $F(u(-x))=F(-u(x))=F(u(x))$.
• Любая константа — чётная функция.
• Любая степень с чётным показателем даёт чётную функцию: $(-x)^{2k}=x^{2k}$.

а) $f(x)=x^2\cos x$

1) Область определения. Произведение многочлена и тригонометрической функции определено при всех $x\in\mathbb{R}$.
Значит, $D_f=\mathbb{R}$ — симметрична относительно 0.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$.

$$f(-x)=(-x{)}^2\cos (-x)=x^2\cdot \cos x$$

$$f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cdot\cos x\quad(\text{так как }\cos\text{ чётная}) = f(x).$$

Вывод: функция чётная.

б) $f(x)=\dfrac{\cos x^3}{4-x^2}$

1) Область определения. Нельзя делить на ноль:

$$4-x^2\neq 0\;\;\Longleftrightarrow\;\;x^2\neq 4\;\;\Longleftrightarrow\;\;x\neq\pm 2.$$

Значит, $D_f=\mathbb{R}\setminus\{\pm 2\}$, что симметрично: если $x\neq\pm 2$, то и $-x\neq\pm 2$.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$.
Аккуратно распишем числитель как композицию чётной $\cos(\cdot)$ и нечётной $x^3$:

$$\cos\bigl((-x)^3\bigr)=\cos(-x^3)=\cos(x^3).$$

А в знаменателе $(-x)^2=x^2$. Тогда:

$$f(-x)=\frac{\cos\bigl((-x)^3\bigr)}{4-(-x)^2} =\frac{\cos(x^3)}{4-x^2}=f(x),$$

для всех $x\in D_f$.

Вывод: функция чётная.

в) $f(x)=\dfrac{\cos 5x+1}{|x|}$

1) Область определения. Запрещено $x=0$ (деление на нуль).
Значит, $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, что симметрично: если $x\neq 0$, то $-x\neq 0$.

2) Проверка равенства $f(-x)=f(x)$.

• Числитель: $\cos(5(-x))=\cos(-5x)=\cos(5x)$ (чётность косинуса), значит $\cos 5x+1$ — чётная функция (сумма чётных).
• Знаменатель: $|-x|=|x|$ — чётная и положительная на $D_f$.

Тогда

$$f(-x)=\frac{\cos(5(-x))+1}{|-x|} =\frac{\cos(5x)+1}{|x|}=f(x),$$

для всех $x\in D_f$.

Вывод: функция чётная.

г) $f(x)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1)$

1) Область определения. Все выражения определены при любых $x\in\mathbb{R}$.
Значит, $D_f=\mathbb{R}$ — симметрична.

2) Разложим на множители с анализом чётности.

• $4+\cos x$: $\cos x$ — чётная, $4$ — чётная (константа), сумма чётных — чётная.
• $\sin^6 x-1$: $\sin x$ — нечётная, но чётная степень $6$ делает $\sin^6 x$ чётной: $(-\sin x)^6=(\sin x)^6$. Константа $1$ — чётная. Разность чётных — чётная.

3) Произведение чётных функций чётно. Следовательно,

$$f(-x)=(4+\cos (-x))({\sin }^6(-x)-1)=$$

$$f(-x)=(4+\cos(-x))\bigl(\sin^6(-x)-1\bigr) =(4+\cos x)\bigl(\sin^6 x-1\bigr)=f(x).$$

Вывод: функция чётная.