ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что функция $y = f(x)$ является нечетной, если

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x);$
$f(-x) = -\sin x \cdot \cos x = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

б) $f(x) = x^5 \cdot \cos 3x$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = (-x)^5 \cdot \cos(-3x);$
$f(-x) = -x^5 \cdot \cos 3x = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 — x^2)}$;

Область определения функции:
$x(25 — x^2) \neq 0;$
$(x + 5)x(x — 5) \neq 0;$
$x_1 \neq -5, \, x_2 \neq 0, \, x_3 \neq 5;$

Область определения симметрична:
$f(-x) = \frac{\cos(-x)^3}{-x(25 — (-x)^2)} = \frac{\cos(-x^3)}{-x(25 — x^2)};$
$f(-x) = -\frac{\cos x^3}{x(25 — x^2)} = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

г) $f(x) = x^{11} \cdot \cos x + \sin x$;

Область определения функции:
$x \in (-\infty; +\infty);$

Область определения симметрична:
$f(-x) = (-x)^{11} \cdot \cos(-x) + \sin(-x);$
$f(-x) = -x^{11} \cdot \cos x — \sin x = -f(x);$

Что и требовалось доказать.

Функция $f$ называется нечётной, если выполняются два условия:

1. Область определения $D_f$ симметрична относительно нуля: из $x\in D_f$ следует $-x\in D_f$.
2. Для всех $x\in D_f$ справедливо тождество

   $$f(-x)=-f(x).$$

Полезные факты:

• $\sin(-t)=-\sin t$ (синус — нечётная функция).
• $\cos(-t)=\cos t$ (косинус — чётная функция).
• Если $g$ нечётная, $h$ чётная, то $g\cdot h$ — нечётная.
• Если $N$ чётная и $D$ нечётная, то при $D(x)\neq 0$ функция $\dfrac{N}{D}$ — нечётная.
• Степень $x^{2k+1}$ — нечётная, $x^{2k}$ — чётная.

а) $f(x)=\sin x\cdot\cos x$

1) Область определения. И $\sin x$, и $\cos x$ определены для всех $x\in\mathbb{R}$, значит

$$D_f=\mathbb{R},$$

область симметрична: из $x\in\mathbb{R}$ следует $-x\in\mathbb{R}$.

2) Проверка равенства $f(-x)=-f(x)$.

$$f(-x)=\sin (-x)\cdot \cos (-x)=(-\sin x)\cdot (\cos x)=$$

$$f(-x)=\sin(-x)\cdot\cos(-x)=(-\sin x)\cdot(\cos x)=-\sin x\cdot\cos x=-f(x).$$

Вывод: оба условия выполнены, $f$ — нечётная.

б) $f(x)=x^5\cdot\cos 3x$

1) Область определения. Многочлен $x^5$ и $\cos 3x$ определены при всех $x$, значит

$$D_f=\mathbb{R},$$

область симметрична.

2) Анализ чётности множителей.

• $x^5$ — нечётная функция: $(-x)^5=-x^5$.
• $\cos 3x$ — чётная функция, так как $\cos$ чётная и $3x\mapsto -3x$ не меняет значения: $\cos(-3x)=\cos 3x$.

3) Проверка через подстановку.

$$f(-x)=(-x{)}^5\cdot \cos (-3x)=(-x^5)\cdot \cos (3x)=$$

$$f(-x)=(-x)^5\cdot\cos(-3x)=(-x^5)\cdot\cos(3x)=-\bigl(x^5\cos 3x\bigr)=-f(x).$$

Вывод: $f$ — нечётная.

в) $f(x)=\displaystyle\frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}$

1) Область определения. Требуется, чтобы знаменатель был ненулевым:

$$x(25-x^2)\mathrm{\ne }0⟺x\mathrm{\ne }0,25-x^2\mathrm{\ne }0⟺$$

$$x(25-x^2)\neq 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\neq 0,\;\;25-x^2\neq 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\neq 0,\;x\neq \pm 5.$$

То есть

$$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5,0,5\},$$

область симметрична (если $x$ запрещён, то $-x$ тоже запрещён).

2) Чётность числителя и знаменателя.

• Числитель: $\cos x^3$. Внутренняя функция $x^3$ — нечётная: $(-x)^3=-x^3$. Косинус — чётный: $\cos(-u)=\cos u$. Следовательно, композиция чётной и нечётной — чётная:

  $$\cos((-x)^3)=\cos(-x^3)=\cos(x^3).$$

• Знаменатель: $x(25-x^2)=25x-x^3$. Это нечётная функция:

  $$(-x)\bigl(25-(-x)^2\bigr)=(-x)(25-x^2)=-\bigl(x(25-x^2)\bigr).$$

3) Итог по чётности дроби. $\dfrac{\text{чётная}}{\text{нечётная}}$ (на множестве, где знаменатель $\neq 0$) — нечётная:

$$f(-x)=\frac{\cos((-x)^3)}{(-x)\,(25-(-x)^2)} =\frac{\cos(x^3)}{-\,x(25-x^2)}=-\frac{\cos(x^3)}{x(25-x^2)}=-f(x),$$

для всех $x\in D_f$.

Вывод: $f$ — нечётная на $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5,0,5\}$.

г) $f(x)=x^{11}\cdot\cos x+\sin x$

1) Область определения. Все слагаемые определены при всех $x$, значит

$$D_f=\mathbb{R},$$

область симметрична.

2) Чётность каждого слагаемого.

• $x^{11}$ — нечётная: $(-x)^{11}=-x^{11}$.
• $\cos x$ — чётная. Значит произведение $x^{11}\cdot\cos x$ — нечётная (нечётная $\times$ чётная).
• $\sin x$ — нечётная.

3) Сумма нечётных функций нечётна. Формально проверим:

$$f(-x)=(-x{)}^{11}\cos (-x)+\sin (-x)=(-x^{11})\cos x+(-\sin x)=$$

$$f(-x)=(-x)^{11}\cos(-x)+\sin(-x)=(-x^{11})\cos x+(-\sin x)=-(x^{11}\cos x+\sin x)=-f(x).$$

Вывод: $f$ — нечётная.