ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение функции $y = 2 \sin x + \cos x$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

$y(x) = 2 \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) + \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right);$

$y(x) = \cos \frac{\pi}{2} — 2 \sin \frac{\pi}{2} = 0 — 2 \cdot 1 = -2;$

Ответ: $-2$.

б) $x = \frac{\pi}{6}$;

$y(x) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2};$

Ответ: $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.

Дана функция

$$y=2\sin x+\cos x.$$

Нужно найти $y$ при двух значениях аргумента: $x=-\dfrac{\pi}{2}$ и $x=\dfrac{\pi}{6}$.

Полезные факты и формулы

Чётность функций:

$$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha (\text{нечётная}),$$

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha \quad(\text{нечётная}),\qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha \quad(\text{чётная}).$$

Значения на стандартных углах:

$$\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{2}=0;$$

$$\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\frac{\pi}{2}=0;\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Геометрический смысл (для проверки): на единичной окружности точка, соответствующая углу $\theta$, имеет координаты $(\cos\theta,\sin\theta)$.

а) $x=-\dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Подстановка в исходную формулу.

$$y=2\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right).$$

Шаг 2. Используем чётность/нечётность.

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\qquad \cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).$$

Тогда

$$y=2\bigl(-\sin\!\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos\!\tfrac{\pi}{2}=-\,2\sin\!\tfrac{\pi}{2}+\cos\!\tfrac{\pi}{2}.$$

Шаг 3. Подставляем точные значения.

$$\sin\!\tfrac{\pi}{2}=1,\qquad \cos\!\tfrac{\pi}{2}=0.$$

Следовательно,

$$y=-2\cdot 1+0=-2.$$

Геометрическая проверка.
Угол $-\tfrac{\pi}{2}$ — это поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке; точка на окружности $(\cos(-\tfrac{\pi}{2}),\sin(-\tfrac{\pi}{2}))=(0,-1)$. Тогда $2\sin x+\cos x=2\cdot(-1)+0=-2$, что совпадает.

Ответ к пункту а: $\boxed{-2}$.

б) $x=\dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1. Подстановка.

$$y=2\sin\!\frac{\pi}{6}+\cos\!\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2. Точные значения на $30^\circ$ (или $\pi/6$).
Из стандартного треугольника $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$:

$$\sin\!\frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad \cos\!\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Шаг 3. Аккуратные подстановки и поэтапные вычисления.

$$y=2\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}.$$

Сначала умножение:

$$2\cdot\frac12=\frac{2}{2}=1.$$

Теперь складываем $1$ и $\dfrac{\sqrt3}{2}$. Приводим к общему знаменателю $2$:

$$1=\frac{2}{2}\quad\Rightarrow\quad 1+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2+\sqrt3}{2}.$$

Итак,

$$y=\frac{2+\sqrt3}{2}.$$

Геометрическая проверка.
На окружности $(\cos\tfrac{\pi}{6},\sin\tfrac{\pi}{6})=(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12)$. Тогда

$$2\sin x+\cos x=2\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}=1+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2+\sqrt3}{2}.$$

Ответ к пункту б: $\boxed{\dfrac{2+\sqrt3}{2}}$.

$$\boxed{y(-\tfrac{\pi}{2})=-2},\qquad \boxed{y(\tfrac{\pi}{6})=\dfrac{2+\sqrt3}{2}}.$$